Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha & 1 & 3 \\ 0 & 2 & \alpha\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Determina los valores de

\alpha

para los que

A

tiene inversa.

b) [1,25 puntos] Calcula la inversa de

A

para

\alpha = 1

.

c) [0,75 puntos] Resuelve, para

\alpha = 1

, el sistema de ecuaciones

\;AX = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = (\alpha-6)-2\alpha^{2}+6\alpha = -2\alpha^{2}+7\alpha-6\;}

\boxed{\;\text{a) Tiene inversa} \iff \alpha\neq2 \ \text{y} \ \alpha\neq\tfrac32\;}

\boxed{\;\text{b) } \alpha = 1 \ (\det A = -1): \ A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{c) } X = A^{-1}B = (-34,\; -5,\; 14)^{t}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados van en cadena:

a) $\det A \neq 0$ : sale un polinomio de segundo grado en $\alpha$ .
b) Con $\alpha = 1$ (que sí está permitido), inversa por el método de la adjunta traspuesta:

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\bigl(\text{adj}\,A\bigr)^{t}

c) Una vez calculada la inversa, $\;X = A^{-1}B\;$ es un simple producto matriz-vector.

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & \alpha\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} \alpha & 3 \\ 0 & \alpha\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix}

= (\alpha-6)-2\alpha^{2}+3\cdot2\alpha = -2\alpha^{2}+7\alpha-6

-2\alpha^{2}+7\alpha-6 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2\alpha^{2}-7\alpha+6 = 0

\alpha = \frac{7\pm\sqrt{49-48}}{4} = \frac{7\pm1}{4} \;\Longrightarrow\; \alpha = 2 \quad \text{o} \quad \alpha = \frac32

\textbf{A tiene inversa} \;\Longleftrightarrow\; \alpha\neq2 \ \text{ y } \ \alpha\neq\frac32

b) La inversa para $\alpha = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det A = -2+7-6 = -1 \neq 0

Los cofactores.

\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -5 & A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = -1 & A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix} = 2 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = 4 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2\end{vmatrix} = -2 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 3 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 0 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -1\end{array}

La adjunta traspuesta, dividida por $\det A = -1$ :

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -5 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}

Comprobación (primera fila de

A\,A^{-1}

1\cdot5+2\cdot1+3\cdot(-2) = 5+2-6 = 1 \;\checkmark

1(-4)+2(-1)+3\cdot2 = -4-2+6 = 0 \;\checkmark \qquad 1(-3)+0+3 = 0 \;\checkmark

c) El sistema $AX = B$ .

X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}

x = -10-12-12 = -34 \qquad y = -2-3+0 = -5 \qquad z = 4+6+4 = 14

X = \begin{pmatrix} -34 \\ -5 \\ 14\end{pmatrix}

Comprobación en las tres ecuaciones:

-34-10+42 = -2 \;\checkmark \qquad -34-5+42 = 3 \;\checkmark \qquad 0-10+14 = 4 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al calcular la adjunta, no olvides los signos alternados $(-1)^{i+j}$ y traspón antes de dividir. El orden correcto es: cofactores $\to$ trasponer $\to$ dividir por el determinante.

Con $\det A = -1$ , la inversa sale entera: es una buena señal. Si te aparecen fracciones raras, revisa el determinante.

En c) no hace falta resolver el sistema por Gauss: ya tienes $A^{-1}$ de b). Aprovecha el trabajo hecho y comprueba el resultado en las tres ecuaciones.