Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & 1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}4 & 2 & -2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & \phantom{-}1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & \phantom{-}0 & 2\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Calcula la matriz inversa de

(A+B)

.

b) [1,25 puntos] Calcula el determinante de

2A^{-1}(A+B)^{t}

, siendo

(A+B)^{t}

la matriz traspuesta de

A+B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A + B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad |A+B| = 24\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad (A+B)^{-1} = \frac{1}{24}\begin{pmatrix} -10 & 4 & 5 \\ 20 & -8 & 2 \\ 2 & 4 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \bigl|2A^{-1}(A+B)^{t}\bigr| = 2^{3}\cdot\frac{1}{|A|}\cdot|A+B| = 8\cdot\frac{24}{4} = 48\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que sumar primero y luego invertir por el método de los adjuntos.

En b) no hace falta calcular ninguna matriz: encadenando propiedades,

\bigl|2A^{-1}(A+B)^{t}\bigr| = 2^{3}\cdot\bigl|A^{-1}\bigr|\cdot\bigl|(A+B)^{t}\bigr| = 8\cdot\frac{1}{|A|}\cdot|A+B|

y los dos determinantes ya se conocen:

|A|

sale de un vistazo (la matriz es triangular inferior) y

|A+B|

ya se ha calculado en a).

Desarrollo

La suma.

A + B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix}

a) Determinante de $A+B$ . Desarrollando por la primera fila:

|A+B| = 0 - 1\,\bigl(0 - 20\bigr) + 2\,\bigl(2 - 0\bigr) = 20 + 4 = 24 \neq 0

Adjuntos.

C_{11} = \left|\begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 2 & 0\end{array}\right| = -10 \qquad C_{12} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 4 & 0\end{array}\right| = 20 \qquad C_{13} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 4 & 2\end{array}\right| = 2

C_{21} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right| = 4 \qquad C_{22} = \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 4 & 0\end{array}\right| = -8 \qquad C_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right| = 4

C_{31} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 5\end{array}\right| = 5 \qquad C_{32} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right| = 2 \qquad C_{33} = \left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right| = -1

Inversa (traspuesta de la matriz de adjuntos, dividida por el determinante):

(A+B)^{-1} = \frac{1}{24}\begin{pmatrix} -10 & \phantom{-}4 & \phantom{-}5 \\ \phantom{-}20 & -8 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}4 & -1\end{pmatrix}

(Comprobación: $(A+B)\,(A+B)^{-1} = I$ .)

b) El determinante pedido.

El de $A$ : es triangular inferior, así que basta multiplicar la diagonal:

|A| = (-2)\cdot 1\cdot(-2) = 4

Aplicando propiedades:

\bigl|2A^{-1}(A+B)^{t}\bigr| = 2^{3}\cdot\bigl|A^{-1}\bigr|\cdot\bigl|(A+B)^{t}\bigr|

= 8\cdot\frac{1}{|A|}\cdot|A+B| = 8\cdot\frac{1}{4}\cdot 24 = 48

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Consejo

En b) no calcules ninguna matriz: encadena propiedades. El $2$ sale como $2^{3}$ (afecta a las tres filas), $|A^{-1}| = 1/|A|$ y $|(A+B)^{t}| = |A+B|$ , que ya tenías de a).

Aprovecha que $A$ es triangular inferior: su determinante es el producto de la diagonal, $(-2)(1)(-2) = 4$ . Desarrollarlo por adjuntos también vale, pero es trabajo perdido.

Y no olvides trasponer la matriz de adjuntos al construir la inversa. Comprobar $(A+B)(A+B)^{-1} = I$ al final detecta ese despiste al instante.