Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{rcl} x+\lambda y-z & = & 0 \\ 2x+y+\lambda z & = & 0 \\ x+5y-\lambda z & = & \lambda+1\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro

\lambda

.

b) [1 punto] Resuélvelo para

\lambda = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 3\lambda^{2}-6\lambda-9 = 3\,(\lambda-3)(\lambda+1)\;}

\boxed{\;\lambda\neq3,-1: \text{ compatible determinado}\;}

\boxed{\;\lambda = 3: \ \operatorname{rg}M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}M^{*} \Rightarrow \text{incompatible}\;}

\boxed{\;\lambda = -1: \text{ homogéneo} \Rightarrow \text{S.C.I.}; \ (x,y,z) = (-2t,\; t,\; -3t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale de segundo grado, con dos valores críticos.

Detalle clave: con

\lambda = -1

el término independiente de la tercera ecuación se anula (

\lambda+1 = 0

) y el sistema se vuelve homogéneo. Y un sistema homogéneo nunca es incompatible, así que ese caso es automáticamente compatible.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 2 & 1 & \lambda \\ 1 & 5 & -\lambda\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda+1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\,(-\lambda-5\lambda)-\lambda\,(-2\lambda-\lambda)-1\,(10-1)

= -6\lambda+3\lambda^{2}-9 = 3\,\bigl(\lambda^{2}-2\lambda-3\bigr) = 3\,(\lambda-3)(\lambda+1)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 3 \quad \text{o} \quad \lambda = -1

a) Clasificación.

Caso $\lambda\neq3$ y $\lambda\neq-1$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = 3$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 & 4\end{array}\right)

El menor

\;\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -5 \neq 0\;

\operatorname{rg}M = 2

. Orlándolo con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 4\end{vmatrix} = 4\,(1-6) = -20 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M^{*} = 3

\textbf{Sistema incompatible}

Caso $\lambda = -1$ : el término independiente se anula y el sistema es homogéneo:

\begin{cases} x-y-z = 0 \\ 2x+y-z = 0 \\ x+5y+z = 0\end{cases}

Un homogéneo siempre es compatible. Y como

\det M = 0

con

\operatorname{rg}M = 2

(el menor

\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = 3 \neq 0

\textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $\lambda = -1$ .

Restando la primera de la segunda:

x+2y = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2y

De la primera:

\;z = x-y = -2y-y = -3y

.

Comprobación en la tercera:

\;-2y+5y-3y = 0

\;\checkmark

(para todo

y

)

Con

y = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(-2t,\; t,\; -3t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(Es una recta que pasa por el origen, con dirección $(-2,1,-3)$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en el término independiente: con $\lambda = -1$ se anula y el sistema pasa a ser homogéneo. Eso garantiza la compatibilidad sin calcular ningún rango de la ampliada.

En el otro valor crítico ( $\lambda=3$ ) hay que orlar el menor con la columna de términos independientes: sale $-20 \neq 0$ y el sistema es incompatible.

Cuando un homogéneo es indeterminado, la solución es siempre una recta o un plano por el origen. Mencionarlo redondea la respuesta.