Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2025 · Julio

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque obligatorio). Se sabe que la suma de tres números naturales es

22

y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es

61

. ¿Puede ser

15

uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Sí: } 15 \text{ puede ser el segundo número, y entonces } (x, y, z) = (1,\ 15,\ 6)\;}

\boxed{\;\text{Es la única opción con un } 15\text{; el sistema tiene además las demás soluciones } (x,\ 17-2x,\ 5+x),\ 0 \leq x \leq 8\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos ecuaciones y tres incógnitas: el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones reales. Pero el enunciado añade una condición que no es una ecuación: los números son naturales. Eso convierte las infinitas soluciones en una lista finita, y ahí está la gracia del ejercicio.

El plan es: resolver el sistema dejando un parámetro, imponer que los tres valores sean naturales para acotar el parámetro, y después buscar en qué casos aparece el

15

Desarrollo

Planteamiento. Sean

x

y

z

los tres números:

\begin{cases} x + y + z = 22 \\ 4x + 3y + 2z = 61 \end{cases}

Resolución general. De la primera,

z = 22 - x - y

. Sustituyendo en la segunda:

4x + 3y + 2(22 - x - y) = 61 \;\Longrightarrow\; 2x + y + 44 = 61 \;\Longrightarrow\; 2x + y = 17

Tomando

x

como parámetro:

y = 17 - 2x, \qquad z = 22 - x - (17 - 2x) = 5 + x

La solución general del sistema es

(x,\ y,\ z) = (x,\ 17 - 2x,\ 5 + x)

La condición de ser naturales. Basta con imponer

y \geq 0

, porque

x \geq 0

z = 5 + x \geq 5

se cumplen solos:

17 - 2x \geq 0 \;\Longrightarrow\; x \leq 8{,}5 \;\Longrightarrow\; x \in \{0, 1, 2, \dots, 8\}

Las soluciones naturales son, por tanto:

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 17 & 15 & 13 & 11 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 \\ \hline z & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \end{array}

(si en tu convenio

0

no es natural, se descarta simplemente la primera columna).

¿Puede ser $15$ uno de los números? Lo miramos posición por posición:

¿ $x = 15$ ? Entonces $y = 17 - 30 = -13 < 0$ . Imposible.
¿ $y = 15$ ? Entonces $17 - 2x = 15 \Longrightarrow x = 1$ , y $z = 5 + 1 = 6$ . Sí es posible: $(1, 15, 6)$ .
¿ $z = 15$ ? Entonces $5 + x = 15 \Longrightarrow x = 10$ , pero entonces $y = 17 - 20 = -3 < 0$ . Imposible.

Comprobación de la solución encontrada:

1 + 15 + 6 = 22

✓ y

4\cdot 1 + 3\cdot 15 + 2\cdot 6 = 4 + 45 + 12 = 61

✓.

¿Existen otras opciones? Con el

15

dentro, no: la tabla muestra que

15

aparece una única vez, como segundo número, y la terna

(1,15,6)

es la única. Ahora bien, el sistema sí admite otras ternas de números naturales (las nueve de la tabla), solo que ninguna otra contiene el

15

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No te lances a decir "faltan datos". Con dos ecuaciones y tres incógnitas el sistema es compatible indeterminado, pero la palabra naturales es la tercera condición: acota el parámetro y deja un número finito de casos.

Y no basta con probar $y = 15$ : la pregunta es si $15$ puede ser uno de los tres, así que hay que descartar razonadamente $x = 15$ y $z = 15$ . Los criterios valoran la discusión, no solo el acierto.