Sistemas de ecuaciones

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ k-1 & 1 & 1 \\ 1 & k-1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ k-1 & 1 & 1 & k \\ 1 & k-1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 0 - 1\cdot\left|\begin{array}{cc} k-1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| + 1\cdot\left|\begin{array}{cc} k-1 & 1 \\ 1 & k-1\end{array}\right| = -\bigl(k-2\bigr) + \bigl((k-1)^{2} - 1\bigr)$$$$|A| = -k + 2 + k^{2} - 2k = k^{2} - 3k + 2 = (k-1)(k-2)$$Los valores críticos son $k=1$ y $k=2$.

Caso $k \neq 1$ y $k \neq 2$. Entonces $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3 =$ número de incógnitas: el sistema es compatible determinado (solución única). De hecho, restando la primera ecuación de la segunda, $(k-1)x = k-1$, así que $x=1$; y restándola de la tercera, $x + (k-2)y = -1$, que con $x=1$ da $(k-2)y = -2$. La solución es$$x = 1, \qquad y = \frac{-2}{k-2}, \qquad z = \frac{k}{k-2}$$Caso $k = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} y + z = 1 \\ y + z = 1 \\ x + z = 0 \end{cases} \qquad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$La primera y la segunda ecuación son idénticas (también en el término independiente), así que sobra una. Queda$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3$$(el menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0$ da rango $2$, y no hay ningún menor de orden $3$ no nulo en $A^{*}$ porque dos filas coinciden). El sistema es compatible indeterminado, con $3 - 2 = 1$ grado de libertad.

Caso $k = 2$. El sistema queda$$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$Las dos últimas ecuaciones tienen los mismos coeficientes pero términos independientes distintos ($2$ y $0$): es una contradicción. Formalmente, $\operatorname{rg}(A) = 2$ (las dos últimas filas de $A$ coinciden y $\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| = -1 \neq 0$), pero en $A^{*}$ el menor de las columnas de $x$, $y$ y términos independientes es$$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = 2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A^{*}) = 3$$Como $\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A^{*})$, el sistema es incompatible.

Resumen de la discusión.$$\begin{array}{c|c} k & \text{Sistema} \\ \hline k \neq 1,\ k \neq 2 & \text{compatible determinado (solución única)} \\ k = 1 & \text{compatible indeterminado (un parámetro)} \\ k = 2 & \text{incompatible} \end{array}$$b) Resolución para $k = 1$. Tomando $z = t$ como parámetro:$$y + z = 1 \;\Longrightarrow\; y = 1 - t, \qquad x + z = 0 \;\Longrightarrow\; x = -t$$$$(x,\ y,\ z) = (-t,\ 1-t,\ t), \qquad t \in \mathbb{R}$$¿Hay solución con $y=0$? Sí: basta imponer $1 - t = 0$, o sea $t = 1$:$$(x,\ y,\ z) = (-1,\ 0,\ 1)$$Comprobación: $y + z = 0 + 1 = 1$ ✓; $(k-1)x + y + z = 0 + 0 + 1 = 1 = k$ ✓; $x + (k-1)y + z = -1 + 0 + 1 = 0$ ✓.