Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} \phantom{(m+2)}x + \phantom{(m+2)}y + 2z = 0 \\ (m+2)x + \phantom{(m+2)}y - \phantom{2}z = m \\ \phantom{(m+}3x + (m+2)y + \phantom{2}z = m\end{cases}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para

m = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 2m\,(m+4)\;}

\boxed{\;m \neq 0,\,-4: \text{ compatible determinado} \quad\big|\quad m = -4: \text{ incompatible} \quad\big|\quad m = 0: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (3t,\, -5t,\, t), \qquad t \in \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius: se calcula

|A|

en función de

m

y se estudian aparte los valores que lo anulan.

Aquí hay un detalle que conviene ver antes de empezar: con $m = 0$ los tres términos independientes se anulan, así que el sistema pasa a ser homogéneo y por tanto compatible seguro. Eso ya anticipa la respuesta del apartado b): habrá solución (al menos la trivial) y, como el determinante se anulará, infinitas.

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ m+2 & 1 & -1 \\ 3 & m+2 & 1\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl[1 + (m+2)\bigr] - 1\bigl[(m+2) + 3\bigr] + 2\bigl[(m+2)^{2} - 3\bigr]

= (m+3) - (m+5) + 2\bigl(m^{2} + 4m + 1\bigr)

= -2 + 2m^{2} + 8m + 2 = 2m^{2} + 8m = 2m\,(m+4)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = -4

Caso $m \neq 0$ y $m \neq -4$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = -4$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ -2 & \phantom{-}1 & -1 & -4 \\ \phantom{-}3 & -2 & \phantom{-}1 & -4\end{array}\right)

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right| = 1 + 2 = 3 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

. Orlando con los términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ -2 & \phantom{-}1 & -4 \\ \phantom{-}3 & -2 & -4\end{array}\right| = 1\,(-4 - 8) - 1\,(8 + 12) + 0 = -12 - 20 = -32 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

Caso $m = 0$ . Los términos independientes se anulan y el sistema es homogéneo:

\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 2x + y - \phantom{2}z = 0 \\ 3x + 2y + \phantom{2}z = 0\end{cases}

Con

\operatorname{rg}(A) = 2

(el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right| = -1 \neq 0

) y siendo homogéneo,

\operatorname{rg}(A^{*}) = 2

también:

\textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}

b) Resolución con $m = 0$ . Restando la primera de la segunda:

(2x + y - z) - (x + y + 2z) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3z

Y de la primera:

y = -x - 2z = -3z - 2z = -5z

(La tercera se cumple automáticamente: $3(3z) + 2(-5z) + z = 9z - 10z + z = 0\;\checkmark$ )

(x, y, z) = \bigl(3t,\; -5t,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en si el sistema se vuelve homogéneo para algún valor del parámetro: si es así, ese caso nunca puede ser incompatible, y basta comprobar el rango de $A$ para saber si hay solo la trivial o infinitas. Aquí, con $m=0$ , ahorra la mitad del trabajo.

En cambio, en $m=-4$ hay que orlar el menor de orden 2 con la columna de términos independientes para probar que el rango sube a 3. Decir solo " $|A| = 0$ " no distingue entre incompatible e indeterminado.

Al resolver un homogéneo, la solución siempre se escribe como una recta de soluciones $(3t,-5t,t)$ , que pasa por el origen. Si tu solución no contiene $(0,0,0)$ , hay un error seguro.