Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sabemos que el coste de

3

lápices,

1

rotulador y

2

carpetas es de

15

euros, mientras que el de

2

lápices,

4

rotuladores y

1

carpeta es de

20

euros.

a) [1,5 puntos] Sabiendo que

1

lápiz y

7

rotuladores cuestan

25

euros, ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.

b) [1 punto] Si por el precio de una carpeta se pueden comprar

10

lápices, ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;3\ell + r + 2c = 15, \quad 2\ell + 4r + c = 20 \;\Longrightarrow\; \ell = 4 - \tfrac{7c}{10}, \quad r = 3 + \tfrac{c}{10}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \ell + 7r = 25 \text{ se cumple siempre } (= -E_{1} + 2E_{2}): \text{ el rango sigue siendo } 2, \text{ no se puede deducir}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad c = 10\ell \;\Longrightarrow\; \ell = 0{,}50, \quad r = 3{,}50, \quad c = 5 \quad (\text{euros})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas (los tres precios) y de partida solo dos ecuaciones: el sistema está indeterminado y los precios no quedan fijados.

La gracia del ejercicio está en el apartado a): se añade una tercera ecuación, pero hay que comprobar si aporta información nueva o si es una combinación lineal de las dos anteriores. Si lo es, el rango no sube y el sistema sigue sin tener solución única.

En b) la condición añadida sí es independiente, y el sistema pasa a ser compatible determinado.

Desarrollo

Incógnitas (en euros):

\ell = \text{precio del lápiz}, \qquad r = \text{precio del rotulador}, \qquad c = \text{precio de la carpeta}

Ecuaciones del enunciado.

\begin{cases} 3\ell + \phantom{4}r + 2c = 15 \\ 2\ell + 4r + \phantom{2}c = 20\end{cases}

Solución general (dos ecuaciones, tres incógnitas). Tomando

c

como parámetro y resolviendo el sistema

2\times 2

\ell

r

\ell = 4 - \frac{7c}{10}, \qquad r = 3 + \frac{c}{10}

(Comprobación: $3\left(4-\tfrac{7c}{10}\right) + \left(3+\tfrac{c}{10}\right) + 2c = 12 - \tfrac{21c}{10} + 3 + \tfrac{c}{10} + 2c = 15\;\checkmark$ )

a) La tercera condición. "Un lápiz y siete rotuladores cuestan

25

euros" es

\ell + 7r = 25

Sustituyendo la solución general:

\left(4 - \frac{7c}{10}\right) + 7\left(3 + \frac{c}{10}\right) = 4 - \frac{7c}{10} + 21 + \frac{7c}{10} = 25

Se cumple para cualquier valor de $c$ : la ecuación no aporta nada nuevo.

De hecho es combinación lineal de las dos anteriores:

(\ell + 7r + 0c) = -\,\bigl(3\ell + r + 2c\bigr) + 2\,\bigl(2\ell + 4r + c\bigr)

y en los términos independientes

-15 + 2\cdot 20 = 25\;\checkmark

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

\textbf{No podemos deducir el precio de cada artículo:} \text{ hay infinitas posibilidades.}

b) La nueva condición. "Por el precio de una carpeta se pueden comprar

10

lápices" significa

c = 10\,\ell

Sustituyendo

\ell = 4 - \tfrac{7c}{10}

c = 10\left(4 - \frac{7c}{10}\right) = 40 - 7c \;\Longrightarrow\; 8c = 40 \;\Longrightarrow\; c = 5

\ell = 4 - \frac{7\cdot 5}{10} = 4 - 3{,}5 = 0{,}5, \qquad r = 3 + \frac{5}{10} = 3{,}5

\ell = 0{,}50 \ \text{euros}, \qquad r = 3{,}50 \ \text{euros}, \qquad c = 5 \ \text{euros}

Comprobación.

3\,(0{,}5) + 3{,}5 + 2\,(5) = 1{,}5 + 3{,}5 + 10 = 15 \quad \checkmark

2\,(0{,}5) + 4\,(3{,}5) + 5 = 1 + 14 + 5 = 20 \quad \checkmark \qquad 5 = 10\cdot 0{,}5 \quad \checkmark

(Y también $0{,}5 + 7\cdot 3{,}5 = 25\;\checkmark$ , como no podía ser de otro modo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos ecuaciones y tres incógnitas, el sistema está indeterminado de partida: los precios no están fijados. Antes de añadir la tercera condición conviene tener eso claro.

La pregunta de a) no es "resuelve", sino "¿podemos deducir?". Hay que comprobar si la nueva ecuación sube el rango. Aquí no lo hace, porque es $-E_{1} + 2E_{2}$ : es una consecuencia de los datos, no información nueva. Exhibir esa combinación lineal es la respuesta más convincente.

Cuidado con traducir b): "por el precio de una carpeta se compran 10 lápices" es $c = 10\ell$ , no $\ell = 10c$ . Un lápiz es más barato que una carpeta, y el resultado ( $0{,}50$ frente a $5$ euros) confirma la lectura.