Opción A · Ejercicio 3. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son \;|A| = \dfrac12\; y \;|B| = -2. Halla: a) [0,5 puntos] |A^{3}|. b) [0,5 puntos] |A^{-1}|. c) [0,5 puntos] |-2A|. d) [0,5 puntos] |AB^{t}|, siendo B^{t} la matriz traspuesta de B. e) [0,5 puntos] El rango de B.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sean

A

B

dos matrices cuadradas de orden

3

cuyos determinantes son

\;|A| = \dfrac12\;

\;|B| = -2

. Halla:

a) [0,5 puntos]

|A^{3}|

.

b) [0,5 puntos]

|A^{-1}|

.

c) [0,5 puntos]

|-2A|

.

d) [0,5 puntos]

|AB^{t}|

, siendo

B^{t}

la matriz traspuesta de

B

.

e) [0,5 puntos] El rango de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \bigl|A^{3}\bigr| = |A|^{3} = \left(\tfrac12\right)^{3} = \frac18\;}

\boxed{\;\text{b) } \bigl|A^{-1}\bigr| = \frac{1}{|A|} = 2; \qquad \text{c) } |-2A| = (-2)^{3}|A| = -4\;}

\boxed{\;\text{d) } \bigl|AB^{t}\bigr| = |A|\cdot|B| = \tfrac12\cdot(-2) = -1\;}

\boxed{\;\text{e) } |B| = -2\neq0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}B = 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el ejercicio se resuelve con cinco propiedades de los determinantes, sin calcular ni una sola matriz:

|AB| = |A|\,|B| \qquad \bigl|A^{-1}\bigr| = \frac{1}{|A|} \qquad |kA| = k^{n}|A|

\bigl|B^{t}\bigr| = |B| \qquad |M|\neq0 \iff \operatorname{rg}M = n

La única trampa está en c): el escalar multiplica a las tres filas, así que sale elevado al orden de la matriz.

Desarrollo

a) $\bigl|A^{3}\bigr|$ . Aplicando

|AB| = |A||B|

dos veces:

\bigl|A^{3}\bigr| = |A|^{3} = \left(\frac12\right)^{3} = \frac18

b) $\bigl|A^{-1}\bigr|$ . De

A\,A^{-1} = I

se deduce

|A|\cdot\bigl|A^{-1}\bigr| = |I| = 1

\bigl|A^{-1}\bigr| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\tfrac12} = 2

c) $|-2A|$ . La matriz es de orden

n = 3

, así que el escalar sale al cubo:

|-2A| = (-2)^{3}\,|A| = -8\cdot\frac12 = -4

(Escribir $|-2A| = -2|A| = -1$ es el error más habitual del ejercicio.)

d) $\bigl|AB^{t}\bigr|$ . Como

\bigl|B^{t}\bigr| = |B|

\bigl|AB^{t}\bigr| = |A|\cdot\bigl|B^{t}\bigr| = |A|\cdot|B| = \frac12\cdot(-2) = -1

e) El rango de $B$ .

B

es cuadrada de orden

3

|B| = -2 \neq 0

Un determinante no nulo de orden

3

es, por sí mismo, un menor de orden

3

distinto de cero:

\operatorname{rg}B = 3

(Equivalentemente: $B$ es invertible, luego tiene rango máximo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La propiedad $|kA| = k^{n}|A|$ es la que más puntos hace perder: el factor multiplica a cada una de las $n$ filas. Con $n=3$ y $k=-2$ queda $(-2)^{3} = -8$ .

No confundas $|A+B|$ con $|A|+|B|$ : no hay ninguna propiedad para la suma. Solo el producto, la inversa, la traspuesta y el producto por un escalar se comportan bien.

En e) basta decir que $|B|\neq0$ : eso ya es un menor de orden $3$ no nulo, luego el rango es máximo. No hace falta ninguna matriz concreta.