Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2025 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque con optatividad 2). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Comprueba que

A^{3} + I = O

, siendo

I

la matriz identidad y

O

la matriz nula. Calcula

A^{-1}

.

b) [1 punto] Calcula

A^{2025}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{3} = -I \;\Longrightarrow\; A^{3} + I = O, \qquad A^{-1} = -A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A^{2025} = (A^{3})^{675} = (-I)^{675} = -I\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es cálculo directo:

A^{2}

, luego

A^{3}

, y comprobar que sale

-I

. Lo interesante viene después: de la relación

A^{3} = -I

se despeja la inversa sin adjuntos ni determinantes, escribiendo

A\cdot(-A^{2}) = I

.

En b) la misma relación convierte una potencia gigantesca en algo trivial: como

A^{3} = -I

, las potencias se repiten con periodo (salvo signo) cada

3

, y basta con dividir

2025

entre

3

Desarrollo

a) Cálculo de $A^{3}$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

(Por ejemplo, la primera fila: $(0,3,4)\cdot(0,1,-1) = -1$ ; $(0,3,4)\cdot(3,-4,3) = -12+12 = 0$ ; $(0,3,4)\cdot(4,-5,4) = -15+16 = 1$ .)

A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

Por tanto

A^{3} + I = -I + I = O

Cálculo de $A^{-1}$ . De

A^{3} = -I

se sigue

A\cdot A^{2} = -I \;\Longrightarrow\; A\cdot\bigl(-A^{2}\bigr) = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = -A^{2}

A^{-1} = -\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}

(Que la inversa exista era previsible: de $A^{3} = -I$ se deduce $|A|^{3} = |-I| = -1$ , luego $|A| = -1 \neq 0$ .)

b) Cálculo de $A^{2025}$ . Como

2025 = 3\cdot 675

A^{2025} = \bigl(A^{3}\bigr)^{675} = (-I)^{675} = (-1)^{675}\,I = -I

porque

675

es impar. Es decir,

A^{2025} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No calcules la inversa con la matriz de adjuntos: el enunciado te está dando la relación $A^{3} = -I$ precisamente para que la uses. De $A\cdot(-A^{2}) = I$ sale $A^{-1}$ en una línea, y además demuestras que has entendido para qué servía el apartado.

En b), lo único que hay que mirar es el resto de dividir $2025$ entre $3$ (es $0$ ) y la paridad del cociente $675$ (impar). Si el exponente hubiera sido $2024$ , la respuesta habría sido $(A^{3})^{674}A^{2} = A^{2}$ : el signo y el resto lo cambian todo.