Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sabiendo que el determinante de la matriz

A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}

2

, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) [0,5 puntos]

\det(3A)

b) [0,5 puntos]

\det\bigl(A^{-1}\bigr)

c) [0,75 puntos]

\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3\end{vmatrix}

d) [0,75 puntos]

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x+2 & y+4 & z+6 \\ -1 & 0 & -1\end{vmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \det(3A) = 3^{3}\det A = 54\;}

\boxed{\;\text{b) } \det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{\det A} = \frac12\;}

\boxed{\;\text{c) } = 3\cdot 2\cdot(-1)\det A = -6\cdot 2 = -12 \quad (\text{dos columnas y un cambio de filas})\;}

\boxed{\;\text{d) } = (-1)\det A = -2 \quad (\text{linealidad}+\text{fila} \times(-1)+\text{dos intercambios})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se hace con propiedades, sin calcular

x

y

z

. Las que hacen falta:

$\det(kA) = k^{n}\det A$ (en orden $3$ : $k^{3}$ ). No es $k\det A$ .
$\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$ .
Multiplicar una fila o columna por $k$ multiplica el determinante por $k$ (una sola vez).
Intercambiar dos filas cambia el signo.
Si una fila es suma de dos, el determinante se parte en dos; y si una fila es múltiplo de otra, el determinante es $0$ .

Desarrollo

a) $\det(3A)$ . Multiplicar toda la matriz por

3

es multiplicar las tres filas por

3

\det(3A) = 3^{3}\det A = 27\cdot 2 = 54

b) $\det\bigl(A^{-1}\bigr)$ . De

A\,A^{-1} = I

se sigue

\det A\cdot\det A^{-1} = 1

\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{\det A} = \frac{1}{2}

c) El tercer determinante. Observamos las columnas:

\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3\end{vmatrix} \qquad C_{1} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ x \\ 1\end{pmatrix}, \quad C_{2} = 2\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 2\end{pmatrix}, \quad C_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ z \\ 3\end{pmatrix}

Sacando el

3

de la primera columna y el

2

de la segunda:

= 3\cdot 2\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & y & z \\ 1 & 2 & 3\end{vmatrix} = 6\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & y & z \\ 1 & 2 & 3\end{vmatrix}

Ahora intercambiamos las filas primera y segunda (cambia el signo) para recuperar

A

= 6\cdot(-1)\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{vmatrix} = -6\det A = -6\cdot 2 = -12

d) El cuarto determinante. La fila central es suma de dos:

\bigl(x+2,\; y+4,\; z+6\bigr) = (x,y,z)+2\,(1,2,3)

Por la propiedad de linealidad en una fila:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x+2 & y+4 & z+6 \\ -1 & 0 & -1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ -1 & 0 & -1\end{vmatrix}+\underbrace{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & -1\end{vmatrix}}_{= \,0}

(El segundo es nulo: $F_{2} = 2F_{1}$ .)

En el que queda, sacamos el

-1

de la tercera fila:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ -1 & 0 & -1\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}

Y reordenamos las filas hasta obtener

A = \bigl[(x,y,z);(1,0,1);(1,2,3)\bigr]

. Hacen falta dos intercambios (

F_{1}\leftrightarrow F_{2}

y luego

F_{2}\leftrightarrow F_{3}

), así que el signo no cambia:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix} = \det A = 2

\Longrightarrow \quad \text{d)} = -2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\det(3A) = 3^{3}\det A$ , no $3\det A$ . El factor afecta a las tres filas de una matriz de orden $3$ . Es el error más repetido de todo el ejercicio.

En c), el $3$ y el $2$ salen de una columna cada uno (factor $3\cdot2 = 6$ ), y luego hay que reordenar filas: cada intercambio cambia el signo. Cuenta bien cuántos haces.

En d), reconoce que la fila central es $(x,y,z)+2(1,2,3)$ y parte el determinante en dos. El segundo sumando se anula porque tiene dos filas proporcionales. El enunciado pide nombrar las propiedades: escríbelas explícitamente, porque ahí está la puntuación.