Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Halla los valores del parámetro

m

que hacen compatible el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} -x+2y-2z & = & 2 \\ 2x+y+z & = & m \\ x+3y-z & = & m^{2}\end{array}\right\}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 4+6-10 = 0 \quad \text{(el parámetro no está en } M)\;}

\boxed{\;\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -5 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M = 2\;}

\boxed{\;\text{Menor orlado} = -5m^{2}+5m+10 = -5\,(m-2)(m+1)\;}

\boxed{\;\textbf{Compatible} \iff m = 2 \ \text{o} \ m = -1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí ocurre algo poco habitual: el parámetro está solo en los términos independientes, así que

\det M

es un número fijo. Y resulta valer

0

\det M = 0

Por tanto el sistema nunca es compatible determinado. Todo se decide en el rango de la matriz ampliada: hay que exigir que valga

2

, es decir, que el menor orlado con la columna de términos independientes se anule.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 2 \\ m \\ m^{2}\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = -1\,(-1-3)-2\,(-2-1)+(-2)\,(6-1)

= 4+6-10 = 0

El rango de $M$ es $2$ , porque el menor

\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -1-4 = -5 \neq 0

La condición de compatibilidad. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & m \\ 1 & 3 & m^{2}\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

= -1\,\bigl(m^{2}-3m\bigr)-2\,\bigl(2m^{2}-m\bigr)+2\,(6-1)

= -m^{2}+3m-4m^{2}+2m+10 = -5m^{2}+5m+10

= -5\,\bigl(m^{2}-m-2\bigr) = -5\,(m-2)(m+1)

Para que $\operatorname{rg}M^{*} = 2$ (y el sistema sea compatible):

-5\,(m-2)(m+1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 2 \quad \text{o} \quad m = -1

\textbf{Compatible (indeterminado) si } m = 2 \ \text{ o } \ m = -1

Comprobación con $m = -1$ . El sistema es

\begin{cases} -x+2y-2z = 2 \\ 2x+y+z = -1 \\ x+3y-z = 1\end{cases}

En efecto,

\;F_{3} = F_{1}+F_{2}

\;(-1+2,\; 2+1,\; -2+1) = (1,3,-1)

\checkmark

, y en los términos independientes

\;2+(-1) = 1

\;\checkmark

(Con $m = 2$ se comprueba igual: $\;2+2 = 4 = m^{2}$ $\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si el parámetro está solo en los términos independientes y $\det M = 0$ , el sistema no puede ser determinado para ningún valor: solo cabe indeterminado o incompatible.

La condición de compatibilidad es que el menor orlado con la columna de términos independientes se anule. Es un solo determinante de orden $3$ .

Comprueba el resultado buscando la combinación lineal: con $m=-1$ y $m=2$ se cumple $F_{3} = F_{1}+F_{2}$ también en el término independiente. Esa es la razón de fondo.