Sistemas de ecuaciones

Incógnitas. $x$ = precio del jersey, $y$ = precio de la camisa, $z$ = precio del pantalón (en euros).

a) Del enunciado salen dos ecuaciones:$$x + y + z = 80 \qquad\qquad x = \frac{y+z}{3}\;\Longleftrightarrow\; 3x - y - z = 0$$La matriz ampliada es$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 80 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$Los dos vectores fila no son proporcionales, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3 =$ número de incógnitas. Por el teorema de Rouché–Frobenius el sistema es compatible indeterminado (un parámetro): hay infinitas ternas de precios posibles.

Ahora bien, sumando las dos ecuaciones desaparecen $y$ y $z$ a la vez:$$(x+y+z) + (3x - y - z) = 80 + 0 \;\Longrightarrow\; 4x = 80 \;\Longrightarrow\; x = 20$$Y sustituyendo, $y + z = 60$, que es una ecuación con dos incógnitas. La solución general es$$x = 20, \qquad y = t, \qquad z = 60 - t, \qquad t \in (0, 60)$$Es decir: el precio del jersey sí queda determinado de forma única ($20$ €: es el mismo en todas las soluciones), pero el de la camisa no, porque cualquier valor $t$ entre $0$ y $60$ es compatible con los datos (por ejemplo $y = 25,\ z = 35$ o $y = 40,\ z = 20$).

b) Pagar con un descuento del $30\,\%$, $40\,\%$ y $20\,\%$ es pagar el $70\,\%$, el $60\,\%$ y el $80\,\%$:$$0{,}7x + 0{,}6y + 0{,}8z = 57$$Junto con las dos anteriores, el sistema completo es$$\begin{cases} x + y + z = 80 \\ 3x - y - z = 0 \\ 0{,}7x + 0{,}6y + 0{,}8z = 57 \end{cases}$$Del apartado anterior ya sabemos que $x = 20$ y que $y + z = 60$. Llevando $x = 20$ a la tercera ecuación:$$0{,}7 \cdot 20 + 0{,}6y + 0{,}8z = 57 \;\Longrightarrow\; 0{,}6y + 0{,}8z = 43$$Y usando $y = 60 - z$:$$0{,}6\,(60 - z) + 0{,}8z = 43 \;\Longrightarrow\; 36 + 0{,}2z = 43 \;\Longrightarrow\; z = 35$$$$y = 60 - 35 = 25$$Comprobación. $20 + 25 + 35 = 80$ ✓; $\dfrac{25+35}{3} = 20$ ✓; $0{,}7\cdot 20 + 0{,}6\cdot 25 + 0{,}8\cdot 35 = 14 + 15 + 28 = 57$ ✓.