Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} 2x & - & 2y & + & 4z & = & 4 \\ 2x & & & + & \phantom{4}z & = & a \\ -3x & - & 3y & + & 3z & = & -3\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro

a

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 6+18-24 = 0 \ \text{(sin parámetro)}, \quad \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 0\end{vmatrix} = 4 \Rightarrow \operatorname{rg}M = 2\;}

\boxed{\;\text{Menor orlado con los t. indep.} = 12\,(a-3)\;}

\boxed{\;a\neq3: \text{ incompatible}; \qquad a = 3: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;a = 3: \ (x,y,z) = (t,\; 4-3t,\; 3-2t), \ t\in\mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Atención al detalle: el parámetro está solo en el término independiente, no en la matriz de coeficientes. Por tanto

\det M \ \text{es un número fijo}

y aquí resulta valer

0

. La discusión se juega entera en el rango de la matriz ampliada: hay que ver para qué

a

vale

2

(compatible) y para cuáles

3

(incompatible).

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 3\end{pmatrix} \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & a \\ -3 & -3 & 3 & -3\end{array}\right)

El determinante de $M$ . Desarrollando por la primera fila:

\det M = 2\,(0\cdot3-1\cdot(-3))+2\,(2\cdot3-1\cdot(-3))+4\,(2\cdot(-3)-0\cdot(-3))

= 2\cdot3+2\cdot9+4\cdot(-6) = 6+18-24 = 0

El rango de $M$ es

2

, porque

\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 0\end{vmatrix} = 0+4 = 4 \neq 0

a) El rango de $M^{*}$ . Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & a \\ -3 & -3 & -3\end{vmatrix} = 2\,(0+3a)+2\,(-6+3a)+4\,(-6-0)

= 6a-12+6a-24 = 12a-36 = 12\,(a-3)

Caso $a\neq3$ :

\operatorname{rg}M^{*} = 3 \neq 2 = \operatorname{rg}M \;\Longrightarrow\; \textbf{Sistema incompatible}

Caso $a = 3$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \ \text{incógnitas} \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

(uniparamétrico)

b) La solución para $a = 3$ . El sistema es

\begin{cases} 2x-2y+4z = 4 \\ 2x+z = 3 \\ -3x-3y+3z = -3\end{cases}

De la segunda:

\;z = 3-2x

.

Simplificando la primera entre

2

\;x-y+2z = 2

. Sustituyendo:

x-y+2\,(3-2x) = 2 \;\Longrightarrow\; x-y+6-4x = 2 \;\Longrightarrow\; -3x-y = -4

y = 4-3x

Con $x = t$ :

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; 4-3t,\; 3-2t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación en la tercera (la que no hemos usado):

-3t-3\,(4-3t)+3\,(3-2t) = -3t-12+9t+9-6t = 0\cdot t-3 = -3 \;\checkmark

(Se cumple para todo $t$ : la tercera ecuación es combinación de las otras dos.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando el parámetro está solo en los términos independientes, $\det M$ no lo lleva: el sistema nunca puede ser compatible determinado si ese determinante es $0$ . Toda la discusión se decide en la ampliada.

Para calcular $\operatorname{rg}M^{*}$ , orla el menor de orden 2 no nulo con la columna de términos independientes. Es más rápido que estudiar los cuatro menores de orden $3$ .

Termina sustituyendo en la ecuación que no has usado: si se cumple idénticamente (para todo $t$ ), confirma que era redundante y que la solución es correcta.