Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & \phantom{-}1 & m+1 \\ m & \phantom{-}0 & 5\end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Estudia el rango de

A

según los valores de

m

.

b) [1 punto] Para

m = 2

, calcula la inversa de

2020\,A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -(2m+5)(m-1); \qquad \operatorname{rg}(A) = 3 \text{ si } m \neq 1,\,-\tfrac52; \quad \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ en otro caso}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (2020A)^{-1} = \frac{A^{-1}}{2020} = -\frac{1}{18180}\begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el rango de una matriz

3\times 3

3

|A| \neq 0

. Los valores que anulan el determinante hay que estudiarlos aparte, pero aquí hay un atajo: el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0

no depende de $m$ , así que el rango nunca baja de

2

. La respuesta es, por tanto, binaria: rango

3

o rango

2

.

En b) conviene recordar la propiedad clave: la inversa de un múltiplo escalar es

(k\,A)^{-1} = \frac{1}{k}\,A^{-1}

No hay que multiplicar la matriz por

2020

ni calcular determinantes gigantescos.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna:

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & m+1 \\ 0 & 5\end{array}\right| + m\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & m+2 \\ \phantom{-}1 & m+1\end{array}\right|

= 1\cdot 5 + m\bigl[-(m+1) - (m+2)\bigr] = 5 + m\,(-2m - 3)

|A| = -2m^{2} - 3m + 5 = -(2m^{2} + 3m - 5) = -(2m + 5)(m - 1)

Raíces.

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = -\frac{5}{2}

Conclusión sobre el rango. El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0

garantiza

\operatorname{rg}(A)\geq 2

para todo $m$ , luego:

\operatorname{rg}(A) = 3 \;\text{ si } m \neq 1 \text{ y } m \neq -\tfrac{5}{2}; \qquad \operatorname{rg}(A) = 2 \;\text{ si } m = 1 \text{ o } m = -\tfrac{5}{2}

b) Caso $m = 2$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & \phantom{-}1 & 3 \\ 2 & \phantom{-}0 & 5\end{pmatrix}, \qquad |A| = -(2\cdot 2 + 5)(2 - 1) = -9 \neq 0

Adjuntos.

A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 5\end{array}\right| = 5 \qquad A_{12} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right| = 6 \qquad A_{13} = \left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right| = -2

A_{21} = -\left|\begin{array}{cc} -1 & 4 \\ \phantom{-}0 & 5\end{array}\right| = 5 \qquad A_{22} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 5\end{array}\right| = -3 \qquad A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & \phantom{-}0\end{array}\right| = -2

A_{31} = \left|\begin{array}{cc} -1 & 4 \\ \phantom{-}1 & 3\end{array}\right| = -7 \qquad A_{32} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & 3\end{array}\right| = -3 \qquad A_{33} = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & \phantom{-}1\end{array}\right| = 1

Inversa de $A$ (traspuesta de la matriz de adjuntos, dividida por el determinante):

A^{-1} = \frac{1}{-9}\begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix}

Inversa de $2020\,A$ .

(2020\,A)^{-1} = \frac{1}{2020}\,A^{-1} = -\frac{1}{18180}\begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix}

Comprobación (la parte esencial,

A\cdot M = -9\,I

con

M

la matriz de la derecha):

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & -9\end{pmatrix} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para responder "rango $2$ " en los valores críticos hace falta exhibir un menor de orden 2 no nulo. El de la esquina superior izquierda vale $1$ y no depende de $m$ : con eso el apartado a) queda cerrado en una línea, sin sustituir cada valor y rehacer las cuentas.

En b), el $2020$ está ahí precisamente para tentar. No multipliques la matriz por $2020$ : la propiedad $(kA)^{-1} = \frac1k A^{-1}$ evita todo el trabajo. (Si lo hicieras a lo bruto, $|2020A| = 2020^{3}|A| = -74\,181\,672\,000$ , un número de once cifras.)

Y al montar la inversa, recuerda trasponer la matriz de adjuntos. Es el paso que más se olvida; para detectarlo basta comprobar que $A\cdot A^{-1} = I$ .