Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula el rango de la matriz

A

según los valores de

m

.

b) [1,5 puntos] Para

m = 0

resuelve la ecuación

A\,X = B

, si es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = m^{2} - 1; \qquad \operatorname{rg}(A) = 3 \text{ si } m \neq \pm 1, \quad \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ si } m = 1 \text{ o } m = -1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para el rango de una matriz cuadrada, lo primero es el determinante: si no se anula, el rango es máximo. Solo para los valores que lo anulan hay que buscar menores de orden

2

.

Aquí el determinante se simplifica mucho si se resta la segunda fila de la tercera antes de desarrollar, porque solo se diferencian en un elemento.

En b), ecuación matricial estándar

AX = B

. Atención a las dimensiones:

A

3\times 3

B

3\times 2

, luego

X

3\times 2

—no cuadrada—, lo cual es perfectamente normal.

Desarrollo

a) Determinante. Restamos la segunda fila a la tercera (

F_{3} \to F_{3} - F_{2}

, que no altera el determinante):

|A| = \left|\begin{array}{ccc} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|

Desarrollando por la tercera fila:

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} m & 1 \\ 1 & m \end{array}\right| = m^{2} - 1 = (m-1)(m+1)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = -1

Caso 1: $m \neq \pm 1$ .

\;\operatorname{rg}(A) = 3

.

Caso 2: $m = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Las filas primera y tercera son iguales. El menor formado por las filas

1

2

y las columnas

1

3

\left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = 2 - 3 = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2

Caso 3: $m = -1$ .

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

El mismo menor (filas

1

2

, columnas

1

3

\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = -2 - 3 = -5 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2

b) Caso $m = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 0 - 1 = -1 \neq 0

Como

A

es invertible, la solución existe y es única:

A\,X = B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}B

Inversa. Con

|A| = -1

, la adjunta traspuesta es

\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{-1}\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

(Comprobación rápida de una entrada: la primera fila de $A\,A^{-1}$ es $(0,1,3)$ por las columnas de $A^{-1}$ , que da $(0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 3\cdot 0,\; 0\cdot 3 + 1\cdot 3 + 3\cdot(-1),\; 0\cdot(-2) + 1\cdot(-3) + 3\cdot 1) = (1, 0, 0)\;\checkmark$ )

Producto.

X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}

(Primera entrada: $0\cdot 2 + 3\cdot 1 + (-2)(-1) = 3 + 2 = 5$ .)

Comprobación.

A\,X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = B \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para calcular el determinante, busca una transformación que cree ceros. Aquí las filas segunda y tercera solo se diferencian en un elemento, así que restarlas deja $(0,0,1)$ y el determinante $3\times 3$ se reduce a uno $2\times 2$ de cabeza.

En el rango, un determinante nulo solo dice que no es 3. Hay que exhibir un menor de orden $2$ no nulo para afirmar que vale exactamente $2$ ; decir "como $|A|=0$ , el rango es $2$ " es saltarse el paso que se está evaluando.