Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 7. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Sabiendo que una matriz

X

verifica que

X^{3}A\,X = B^{2}

, halla los posibles valores de su determinante.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^{2}\,Y\,B^{-1} = A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |X|^{4}\,|A| = |B|^{2} \;\Longrightarrow\; |X|^{4} = 4 \;\Longrightarrow\; |X| = \pm\sqrt{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A^{2}YB^{-1} = A \Longleftrightarrow A\,Y = B \;\Longrightarrow\; Y = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es una trampa aparente: no hay que despejar

X

(de hecho no se puede). Basta tomar determinantes a los dos lados y usar que

|MN| = |M|\,|N|

\bigl|X\bigr|^{3}\cdot|A|\cdot|X| = |B|^{2} \;\Longrightarrow\; |X|^{4}\,|A| = |B|^{2}

Eso deja una ecuación numérica de cuarto grado en

|X|

.

En b) sí hay que despejar, y conviene simplificar antes de calcular: multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda y por

B

por la derecha, la ecuación se reduce a

A\,Y = B

, y de ahí

Y = A^{-1}B

— sin necesidad de calcular

A^{2}

B^{-1}

Desarrollo

Determinantes de las matrices dadas.

|A| = 1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 1, \qquad |B| = 2\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2

a) Tomando determinantes.

\bigl|X^{3}A\,X\bigr| = \bigl|B^{2}\bigr| \;\Longrightarrow\; |X|^{3}\cdot|A|\cdot|X| = |B|^{2}

|X|^{4}\cdot 1 = (-2)^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; |X|^{4} = 4

|X|^{2} = 2 \;\Longrightarrow\; |X| = \sqrt{2} \quad \text{o} \quad |X| = -\sqrt{2}

(De $|X|^{4} = 4$ sale $|X|^{2} = 2$ , descartando $|X|^{2} = -2$ por ser un cuadrado. Los dos signos son posibles.)

b) Simplificación de la ecuación. Como

|A| = 1 \neq 0

|B| = -2 \neq 0

, ambas son invertibles.

A^{2}\,Y\,B^{-1} = A

Multiplicando por

B

por la derecha:

A^{2}\,Y = A\,B

Multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda:

A\,Y = B \;\Longrightarrow\; Y = A^{-1}B

Inversa de $A$ . Para una matriz

2\times 2

con

|A| = 1

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\;\checkmark$ )

Cálculo de $Y$ .

Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 - 0 \\ -2 + 2 & -1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = B \quad \checkmark

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Consejo

En a) no intentes despejar $X$ : aparece elevada al cubo y multiplicando por los dos lados, así que no hay forma. La herramienta es tomar determinantes, que convierten una ecuación matricial imposible en una numérica de una línea.

En b), simplifica antes de calcular: de $A^{2}YB^{-1} = A$ se llega a $AY = B$ con dos multiplicaciones, y ya no hacen falta ni $A^{2}$ ni $B^{-1}$ . Y recuerda por qué lado entra cada inversa: $B$ va por la derecha y $A^{-1}$ por la izquierda, porque el producto de matrices no conmuta.