Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sea el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} x & + & \phantom{m}y & & & = & m+1 \\ x & + & m y & + & z & = & 1 \\ m x & + & \phantom{m}y & - & z & = & m\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Determina los valores de

m

para los que el sistema es compatible.

b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso

m = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = (-m-1)-(-1-m) = 0 \quad \textbf{para todo } m\;}

\boxed{\;\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & -1\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M = 2 \ \forall m\;}

\boxed{\;\text{Menor orlado} = -m\,(m+1) = 0 \iff m = 0 \ \text{o} \ m = -1\;}

\boxed{\;m = -1: \ (x,y,z) = (t,\; -t,\; 1-2t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí ocurre algo poco habitual: $\det M = 0$ para todo $m$ . Se comprueba al desarrollarlo, y significa que el sistema nunca es compatible determinado.

Por tanto todo se decide en la matriz ampliada: hay que exigir que

\operatorname{rg}M^{*} = \operatorname{rg}M = 2

. Por el método de orlar, basta tomar un menor de orden

2

no nulo de

M

y exigir que se anulen los menores de orden

3

M^{*}

que lo contienen: uno es

\det M

(que ya vale

0

) y el otro es el que lleva la columna de términos independientes.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & -1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} m+1 \\ 1 \\ m\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\,\bigl[m(-1)-1\cdot1\bigr]-1\,\bigl[1(-1)-1\cdot m\bigr]+0

= (-m-1)-(-1-m) = -m-1+1+m = 0

\det M = 0 \quad \textbf{para todo } m

El rango de $M$ es $2$ : el menor

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & -1\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \quad \text{(filas 1 y 3, columnas 1 y 3)}

no se anula nunca.

a) La condición de compatibilidad. Hay que orlar ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & m+1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m & -1 & m\end{vmatrix} = 1\,(m+1)-0+(m+1)\,(-1-m)

= (m+1)-(m+1)^{2} = (m+1)\bigl[1-(m+1)\bigr] = -m\,(m+1)

\operatorname{rg}M^{*} = 2 \;\Longleftrightarrow\; -m\,(m+1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \ \text{ o } \ m = -1

(Ese menor de orden $2$ solo tiene dos orlados: $\det M$ , que es $0$ para todo $m$ , y este. Por eso basta con él. Si $m\neq0$ y $m\neq-1$ , este menor no se anula y $\operatorname{rg}M^{*} = 3 \neq 2 = \operatorname{rg}M$ . Como control, el menor de columnas $1$ , $2$ y términos independientes vale $-m\,(m-1)(m+1)$ , que también se anula en $m=0$ y $m=-1$ .)

\textbf{Compatible (indeterminado) si } m = 0 \ \text{ o } \ m = -1; \textbf{ incompatible en el resto}

b) Resolución para $m = -1$ .

\begin{cases} x+y = 0 \\ x-y+z = 1 \\ -x+y-z = -1\end{cases}

La tercera es la segunda cambiada de signo (

F_{3} = -F_{2}

), así que sobra.

De la primera:

\;y = -x

. Sustituyendo en la segunda:

x-(-x)+z = 2x+z = 1 \;\Longrightarrow\; z = 1-2x

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; -t,\; 1-2t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t = 0

(0,0,1)

;

\;0+0 = 0

\checkmark

;

\;0-0+1 = 1

\checkmark

;

\;0+0-1 = -1

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si $\det M = 0$ para todo el parámetro, el sistema nunca es determinado: no pierdas tiempo buscando valores que lo hagan compatible determinado.

Para que $\operatorname{rg}M^{*} = 2$ no vale un menor de orden $3$ cualquiera: hay que orlar un menor de orden $2$ no nulo y anular todos los orlados (aquí, $\det M$ y el de la columna de términos independientes). Es el detalle que separa este ejercicio de los rutinarios.

Antes de resolver, busca filas proporcionales: aquí, con $m=-1$ , la tercera es la segunda cambiada de signo y se puede descartar directamente.