Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 1\end{pmatrix}

a) [1 punto] Halla el determinante de una matriz

X

que verifique la igualdad

X^{2}A\,X = B

.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, la matriz

Y

que verifica la igualdad

A^{2}\,Y\,B^{-1} = A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1, \qquad \det B = 8\;}

\boxed{\;\text{a) } (\det X)^{2}\det A\,\det X = \det B \;\Longrightarrow\; -(\det X)^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; \det X = -2\;}

\boxed{\;\text{b) } Y = (A^{2})^{-1}A\,B = A^{-1}B; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;Y = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Fíjate en que no se pide $X$ , solo su determinante. Y eso se obtiene sin resolver nada: tomando determinantes en los dos miembros y usando $\det(MN) = \det M\det N$ ,

\bigl(\det X\bigr)^{2}\cdot\det A\cdot\det X = \det B \;\Longrightarrow\; \bigl(\det X\bigr)^{3} = \frac{\det B}{\det A}

b) Despejar con cuidado el orden. $A^{2}$ está a la izquierda y $B^{-1}$ a la derecha:

Y = \bigl(A^{2}\bigr)^{-1}A\,B = A^{-1}B

(porque

\bigl(A^{2}\bigr)^{-1}A = A^{-1}A^{-1}A = A^{-1}

Desarrollo

Los determinantes.

\det A = 1\cdot1-2\cdot1 = -1 \qquad \det B = 4\cdot1-(-1)\cdot4 = 4+4 = 8

Ambos no nulos: las dos matrices son invertibles.

a) El determinante de $X$ . Tomando determinantes en

X^{2}AX = B

\det\bigl(X^{2}\bigr)\cdot\det A\cdot\det X = \det B

\bigl(\det X\bigr)^{2}\cdot(-1)\cdot\det X = 8 \;\Longrightarrow\; -\bigl(\det X\bigr)^{3} = 8

\bigl(\det X\bigr)^{3} = -8 \;\Longrightarrow\; \det X = -2

(La raíz cúbica real es única, así que el determinante queda determinado sin ambigüedad.)

b) Despejando $Y$ .

A^{2}\,Y\,B^{-1} = A

Multiplicamos por

\bigl(A^{2}\bigr)^{-1}

por la izquierda y por

B

por la derecha:

Y = \bigl(A^{2}\bigr)^{-1}A\,B = A^{-1}A^{-1}A\,B = A^{-1}B

La inversa de $A$ . Con

\det A = -1

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} -1+2 & 2-2 \\ -1+1 & 2-1\end{pmatrix} = I$ $\checkmark$ )

El producto.

Y = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4+8 & 1+2 \\ 4-4 & -1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -2\end{pmatrix}

Comprobación de determinantes. De la ecuación original,

\;\det(A)^{2}\det Y/\det B = \det A

, es decir,

\det Y = \frac{\det B}{\det A} = -8

. Y en efecto:

\det Y = 4\cdot(-2)-3\cdot0 = -8 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no intentes hallar $X$ : la ecuación $X^{2}AX = B$ no es lineal y no se despeja. Solo se pide el determinante, y eso sale tomando determinantes a los dos lados. Leer bien qué se pide ahorra el ejercicio entero.

Al despejar en b), multiplica por el lado correcto: $(A^{2})^{-1}$ por la izquierda y $B$ por la derecha. Y aprovecha que $(A^{2})^{-1}A = A^{-1}$ : te ahorras calcular $A^{2}$ y su inversa.

Comprueba el resultado con determinantes: $\det Y$ debe valer $\frac{\det B}{\det A} = -8$ . Es una verificación instantánea que detecta errores en el producto de matrices.