Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 \\ -1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula

A^{2018}

.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, la matriz

X

que verifica

A\,(X + 2I) = B\,C

, donde

I

es la matriz identidad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & n & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{2018} = \begin{pmatrix} 1 & 2018 & 2018 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = A^{-1}B\,C - 2I, \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -4\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la vía es calcular

A^{2}

A^{3}

, detectar el patrón y generalizarlo. Aquí el patrón es transparente si se escribe

A = I + N

con

N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad N^{2} = 0

Entonces

A^{n} = I + n\,N

: solo crece el número que ocupa las dos posiciones de la primera fila.

En b) hay que fijarse en el paréntesis:

A

multiplica a

\bigl(X + 2I\bigr)

, así que primero se despeja ese bloque y solo al final se resta

2I

Desarrollo

a) Las primeras potencias.

A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

A^{3} = A^{2}\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

El patrón.

A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & n & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

(Justificación: $A = I + N$ con $N^{2} = 0$ , luego el binomio de Newton se corta en el segundo término: $A^{n} = I + nN$ .)

A^{2018} = \begin{pmatrix} 1 & 2018 & 2018 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

b) Despeje. Como

|A| = 1 \neq 0

(matriz triangular con unos en la diagonal),

A

es invertible:

A\,(X + 2I) = B\,C \;\Longrightarrow\; X + 2I = A^{-1}\,(B\,C) \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}B\,C - 2I

La inversa. De

A = I + N

con

N^{2} = 0

se sigue

A^{-1} = I - N

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ 0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = (I+N)(I-N) = I - N^{2} = I\;\checkmark$ )

El producto $B\,C$ (

3\times 1

por

1\times 3

, resulta

3\times 3

B\,C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ -1 & -1 & -2\end{pmatrix}

El producto $A^{-1}B\,C$ .

A^{-1}\,(B\,C) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ -1 & -1 & -2\end{pmatrix}

(La primera fila se anula porque $-1 + 1 = 0$ en cada columna. Curiosamente, el resultado coincide con $B\,C$ .)

Restando $2I$ .

X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}2 \\ -1 & -1 & -4\end{pmatrix}

Comprobación:

\;A\,(X + 2I) = A\cdot A^{-1}B\,C = B\,C\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para una potencia enorme, calcula $A^{2}$ y $A^{3}$ , conjetura el patrón y justifícalo. Aquí basta escribir $A = I + N$ con $N^{2}=0$ : el binomio se corta y $A^{n} = I + nN$ . Es mucho más convincente que decir "se ve que va sumando uno".

En b), respeta el paréntesis: se despeja $X + 2I$ completo y luego se resta $2I$ . Empezar desarrollando $AX + 2A = BC$ también funciona, pero obliga a calcular $2A$ y complica las cuentas.

Y recuerda que $2I$ es la matriz $\begin{smallmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{smallmatrix}$ , no una matriz llena de doses. Restarla solo afecta a la diagonal.