Ejercicio 6 (bloque C). Considera las matrices A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} e I la matriz identidad de orden 2. a) [1,5 puntos] Sabiendo que A verifica la identidad \bigl(A + aI\bigr)^{2} = b\,I, halla a y b. b) [1 punto] Resuelve la ecuación MX + M^{2} = I.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2024 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque C). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

I

la matriz identidad de orden

2

.

a) [1,5 puntos] Sabiendo que

A

verifica la identidad

\bigl(A + aI\bigr)^{2} = b\,I

, halla

a

b

.

b) [1 punto] Resuelve la ecuación

MX + M^{2} = I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -3, \qquad b = -2 \qquad\bigl(\text{es decir } (A-3I)^{2} = -2I\bigr)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = M^{-1} - M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = -I\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el camino directo es escribir

A + aI

(que es

A

con

a

sumado en la diagonal), elevarla al cuadrado y comparar entrada a entrada con

bI

. Las entradas de fuera de la diagonal deben anularse, y ahí sale

a

; las de la diagonal dan

b

. Ojo: ambas entradas diagonales deben dar el mismo valor, y esa coincidencia es una comprobación de que el planteamiento es correcto.

En b) se despeja como en cualquier ecuación matricial:

MX = I - M^{2}

X = M^{-1}\bigl(I-M^{2}\bigr)

, multiplicando por

M^{-1}

por la izquierda. Hay un atajo elegante: distribuyendo,

X = M^{-1} - M^{-1}M^{2} = M^{-1} - M

Desarrollo

a) Cálculo de $a$ y $b$ .

A + aI = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix}

Llamando

p = 1+a

q = 5+a

para abreviar:

\bigl(A+aI\bigr)^{2} = \begin{pmatrix} p & 3 \\ -2 & q\end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & 3 \\ -2 & q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p^{2}-6 & 3p+3q \\ -2p-2q & q^{2}-6 \end{pmatrix}

Igualando a

b\,I = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}

:

De las entradas fuera de la diagonal:

3(p+q) = 0 \;\Longrightarrow\; p + q = 0 \;\Longrightarrow\; (1+a) + (5+a) = 0 \;\Longrightarrow\; 2a + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

(la otra, $-2(p+q) = 0$ , es la misma condición).

De las entradas de la diagonal, con

a=-3

(es decir

p=-2

q=2

b = p^{2} - 6 = 4 - 6 = -2, \qquad b = q^{2} - 6 = 4 - 6 = -2

Las dos coinciden, luego el sistema es compatible y

a = -3, \qquad b = -2

Comprobación.

A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -2 & 2\end{pmatrix}, \qquad \bigl(A-3I\bigr)^{2} = \begin{pmatrix} 4-6 & -6+6 \\ 4-4 & -6+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix} = -2I

b) La ecuación matricial.

MX + M^{2} = I \;\Longrightarrow\; MX = I - M^{2}

Como

|M| = 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1 \neq 0

, existe

M^{-1}

y podemos multiplicar por la izquierda:

X = M^{-1}\bigl(I - M^{2}\bigr) = M^{-1} - M^{-1}M^{2} = M^{-1} - M

Inversa de $M$ :

M^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

(Comprobación: $M\,M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .)

Y la resta:

X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = -I

Comprobación. Con

X = -I

MX + M^{2} = -M + M^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I

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Consejo

En a), las condiciones útiles son las de fuera de la diagonal: al anularse dan $a$ . Y después hay que verificar que las dos entradas diagonales producen el mismo $b$ ; si no coincidieran, el sistema sería incompatible y habría que decirlo.

En b), aprovecha la simplificación $M^{-1}M^{2} = M$ : la ecuación se resuelve como $X = M^{-1} - M$ sin calcular $M^{2}$ ni hacer ningún producto de matrices. Y respeta el lado: $M^{-1}$ multiplica por la izquierda, porque en $MX$ la $M$ está a la izquierda.