Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{m}x+2y+\phantom{m}z & = & 0 \\ \phantom{m}x-\phantom{2}y+m z & = & m-2 \\ m x+\phantom{2}y+3z & = & m-2\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para

m = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 2m^{2}-8 = 2(m-2)(m+2)\;}

\boxed{\;\text{a) } m\neq\pm2: \text{ S.C.D.}; \quad m = -2: \text{ S.I.}; \quad m = 2: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;m = 2 \text{ hace el sistema } \textbf{homogéneo} \ (b = 0) \;\Longrightarrow\; \text{siempre compatible}\;}

\boxed{\;\text{b) } (x,y,z) = \left(-\tfrac{5t}{3},\; \tfrac t3,\; t\right); \ \text{p. ej. } (-5,1,3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante da dos valores críticos y, como suele pasar, uno resulta incompatible y el otro indeterminado.

Un detalle que simplifica mucho el caso

m=2

: los términos independientes valen

m-2

, así que con

m=2

el sistema se vuelve homogéneo. Eso garantiza de entrada que es compatible.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & m \\ m & 1 & 3\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 0 \\ m-2 \\ m-2\end{pmatrix}

El determinante.

\det M = 1\,(-3-m)-2\,(3-m^{2})+1\,(1+m)

= -3-m-6+2m^{2}+1+m = 2m^{2}-8

\det M = 2\,(m-2)(m+2) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 2 \quad \text{o} \quad m = -2

a) Discusión.

Caso $m\neq2$ y $m\neq-2$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $m = -2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 3 & -4\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(menor

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -3\neq0

). Orlando con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 1 & -4\end{vmatrix} = 1(4+4)-2(-4-8)+0 = 8+24 = 32 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $m = 2$ : los términos independientes se anulan y el sistema es homogéneo:

\begin{cases} x+2y+\phantom{2}z = 0 \\ x-\phantom{2}y+2z = 0 \\ 2x+\phantom{2}y+3z = 0\end{cases}

Al ser homogéneo,

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*}

; y como

\det M = 0

y el menor

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -3\neq0

, ese rango es

2 < 3

\textbf{Compatible indeterminado (1 parámetro)}

b) Resolución para $m = 2$ . Con las dos primeras ecuaciones y

z = t

\begin{cases} x+2y = -t \\ x-\phantom{2}y = -2t\end{cases}

Restando:

\;3y = t \Rightarrow y = \dfrac{t}{3}

. Y de la segunda:

x = -2t+y = -2t+\frac t3 = \frac{-6t+t}{3} = -\frac{5t}{3}

(x,\,y,\,z) = \left(-\frac{5t}{3},\; \frac{t}{3},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

(Con $t=3$ : $(-5,1,3)$ , más cómodo de comprobar.)

Comprobación con

(-5,1,3)

\;-5+2+3 = 0\;\checkmark

;

\;-5-1+6 = 0\;\checkmark

;

\;-10+1+9 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en que los términos independientes son $m-2$ : con $m=2$ el sistema se vuelve homogéneo, y por tanto compatible seguro. Observarlo ahorra comprobar rangos en ese caso.

Los dos valores críticos no se comportan igual: $m=-2$ da incompatible y $m=2$ indeterminado. Estudia cada uno por separado.

Para dar la solución, elegir $t$ múltiplo de $3$ (por ejemplo $t=3$ ) evita fracciones y hace la comprobación mucho más rápida. La familia es la misma.