Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} x+y & = & 1 \\ k y+z & = & 0 \\ x+(k+1)y+k z & = & k+1\end{array}\right\}

a) [1,25 puntos] Determina el valor del parámetro

k

para que sea incompatible.

b) [1,25 puntos] Halla el valor del parámetro

k

para que la solución del sistema tenga

\;z = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = k^{2}-k = k\,(k-1) = 0 \iff k = 0, \ k = 1\;}

\boxed{\;k = 0: \ F_{1} = F_{3} \text{ (con el t. indep.)} \Rightarrow \text{S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{a) } k = 1: \ F_{3} = F_{1}+F_{2} \text{ solo en coeficientes} \Rightarrow \textbf{incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b) } z = \frac{k}{k-1} = 2 \;\Longrightarrow\; k = 2, \ (x,y,z) = (2,-1,2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El determinante sale $k\,(k-1)$ : dos valores críticos. En uno el sistema es indeterminado y en el otro incompatible; hay que mirar la ampliada para distinguirlos.
b) Para $k\neq0,1$ el sistema es determinado. Conviene resolverlo dejando $k$ como parámetro y despejar la condición $z = 2$ al final.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & k+1 & k\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ k+1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\,\bigl[k\cdot k-1\,(k+1)\bigr]-1\,\bigl[0\cdot k-1\cdot1\bigr]+0

= \bigl(k^{2}-k-1\bigr)+1 = k^{2}-k = k\,(k-1)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = 0 \quad \text{o} \quad k = 1

a) ¿Cuál de los dos da incompatible?

Caso $k = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)

Las filas primera y tercera son idénticas, término independiente incluido: sobra una. Con

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2

\textbf{Compatible indeterminado}

Caso $k = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right)

En los coeficientes se cumple

F_{3} = F_{1}+F_{2}

(1,1,0)+(0,1,1) = (1,2,1) \;\checkmark

pero en los términos independientes no:

\;1+0 = 1 \neq 2

\operatorname{rg}M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}M^{*} \;\Longrightarrow\; \textbf{Sistema incompatible}

k = 1

b) La condición $z = 2$ . Con

k\neq0,1

el sistema es determinado. Resolvemos en general:

De la primera:

\;x = 1-y

. De la segunda:

\;z = -k y

.

Sustituyendo en la tercera:

(1-y)+(k+1)y+k\,(-k y) = 1-y+k y+y-k^{2}y = 1+k y-k^{2}y = k+1

k y\,(1-k) = k \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{1-k} \qquad (k\neq0,\ k\neq1)

z = -k y = \frac{-k}{1-k} = \frac{k}{k-1}

Imponemos $z = 2$ :

\frac{k}{k-1} = 2 \;\Longrightarrow\; k = 2k-2 \;\Longrightarrow\; k = 2

La solución para $k = 2$ :

y = \frac{1}{1-2} = -1 \qquad z = -2\,(-1) = 2 \qquad x = 1-(-1) = 2

(x,\,y,\,z) = (2,\,-1,\,2)

Comprobación:

\;2-1 = 1

\checkmark

;

\;2(-1)+2 = 0

\checkmark

;

\;2+3(-1)+2\cdot2 = 3 = k+1

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos valores críticos se comportan al revés: con $k=0$ el sistema es indeterminado y con $k=1$ incompatible. La diferencia está en la columna de términos independientes.

En b), resuelve con el parámetro dentro: obtienes $z$ como función de $k$ y la condición $z=2$ se convierte en una ecuación sencilla. Ir probando valores es mucho más lento.

Comprueba que el $k$ obtenido no es crítico ( $k = 2 \neq 0,1$ ): si lo fuera, no habría solución única y la pregunta no tendría sentido.