Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0\end{pmatrix}

. Determina, si existen, los valores de

k

en cada uno de los casos siguientes:

a) [0,75 puntos]

\operatorname{rango}(A) = 1

.

b) [0,75 puntos]

A^{2} = A

.

c) [0,5 puntos]

A

tiene inversa.

d) [0,5 puntos]

\det(A) = -2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det(A) = k^{2}-1\;}

\boxed{\;\text{a)}\ \operatorname{rango} = 1 \iff k = \pm 1 \qquad \text{b)}\ A^{2} = A \iff k = 1\;}

\boxed{\;\text{c)}\ \text{invertible} \iff k \neq \pm 1 \qquad \text{d)}\ k^{2} = -1: \textbf{no existe}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Casi todo gira alrededor del determinante, que aquí es muy sencillo:

\det(A) = k\cdot 0 - (1+k)(1-k) = k^{2}-1

a) Rango $1$ $\Rightarrow$ determinante nulo y matriz no nula.
b) Hay que calcular $A^{2}$ e igualar entrada a entrada: son cuatro ecuaciones, y todas deben cumplirse a la vez.
c) Existe inversa $\iff \det \neq 0$ .
d) Ecuación en $k$ ; puede no tener solución real, y decirlo es la respuesta.

Desarrollo

El determinante.

\det(A) = \begin{vmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0\end{vmatrix} = 0 - (1+k)(1-k) = -(1-k^{2}) = k^{2}-1

a) $\operatorname{rango}(A) = 1$ . Hace falta

\det(A) = 0

k^{2}-1 = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = -1

Y que la matriz no sea nula (si lo fuera, el rango sería

0

k = 1: \; A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq O \qquad k = -1: \; A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq O

\operatorname{rango}(A) = 1 \iff k = \pm 1

b) $A^{2} = A$ . Calculamos el cuadrado:

A^{2} = \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0\end{pmatrix}

a_{11} = k^{2} + (1+k)(1-k) = k^{2} + 1 - k^{2} = 1

a_{12} = k(1+k) + 0 = k + k^{2} \qquad a_{21} = (1-k)k + 0 = k - k^{2} \qquad a_{22} = (1-k)(1+k) = 1-k^{2}

A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & k+k^{2} \\ k-k^{2} & 1-k^{2}\end{pmatrix}

Igualando a

A

\begin{cases} 1 = k \\ k+k^{2} = 1+k \\ k-k^{2} = 1-k \\ 1-k^{2} = 0\end{cases}

La primera ecuación ya obliga a

k = 1

; se comprueba que las otras tres también se cumplen:

1+1 = 1+1 \;\checkmark \qquad 1-1 = 1-1 \;\checkmark \qquad 1-1 = 0 \;\checkmark

A^{2} = A \iff k = 1 \qquad \left(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\right)

(Con $k=-1$ fallaría la primera: $a_{11} = 1 \neq -1$ .)

c) $A$ tiene inversa.

\det(A) = k^{2}-1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; k \neq 1 \ \text{ y } \ k \neq -1

A \text{ es invertible} \iff k \in \mathbb{R}\setminus\{-1,\,1\}

d) $\det(A) = -2$ .

k^{2}-1 = -2 \;\Longrightarrow\; k^{2} = -1

\textbf{No existe ningún } k \text{ real}

(De hecho $\det(A) = k^{2}-1 \geq -1$ para todo $k$ real: el determinante nunca baja de $-1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el rango $1$ no basta con $\det = 0$ : hay que añadir que la matriz no sea la nula. Aquí se cumple siempre, pero conviene decirlo.

En $A^{2} = A$ hay que igualar las cuatro entradas. Un valor que satisfaga solo una de las ecuaciones no vale: por eso $k=-1$ se descarta aunque anule el determinante.

El apartado d) tiene truco: la respuesta correcta es "no existe". Como $k^{2}\geq 0$ , el determinante $k^{2}-1$ nunca vale $-2$ . Razonarlo es lo que puntúa; dejarlo en blanco, no.