Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. De la matriz

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}

se sabe que

\;\det(A) = 4

. Se pide:

a) [1,25 puntos] Halla

\;\det\bigl(-3A^{t}\bigr)\;

\;\det\begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c\end{pmatrix}

. Indica las propiedades que utilizas. (

A^{t}

es la matriz traspuesta de

A

).

b) [0,75 puntos] Calcula

\;\det\bigl(A^{-1}A^{t}\bigr)

.

c) [0,5 puntos] Si

B

es una matriz cuadrada tal que

B^{3} = I

, siendo

I

la matriz identidad, halla

\det(B)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl|-3A^{t}\bigr| = (-3)^{2}\bigl|A^{t}\bigr| = 9\,|A| = 36\;}

\boxed{\;\begin{vmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c\end{vmatrix} = 2\,(-3)\begin{vmatrix} b & a \\ d & c\end{vmatrix} = -6\,(-|A|) = 24\;}

\boxed{\;\bigl|A^{-1}A^{t}\bigr| = \frac{1}{|A|}\cdot|A| = 1\;}

\boxed{\;B^{3} = I \Rightarrow |B|^{3} = 1 \Rightarrow \det(B) = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se resuelve con las propiedades de los determinantes, sin conocer

a

b

c

d

\bigl|A^{t}\bigr| = |A| \qquad |kA| = k^{n}|A| \qquad |AB| = |A|\,|B| \qquad \bigl|A^{-1}\bigr| = \frac{1}{|A|}

Y dos más, que son la clave de la segunda matriz de a):

multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$ (¡una fila, no toda la matriz!),
intercambiar dos columnas cambia el signo del determinante.

Desarrollo

a) Primer determinante: $\det\bigl(-3A^{t}\bigr)$ .

\bigl|-3A^{t}\bigr| \;\overset{|kA| = k^{n}|A|}{=}\; (-3)^{2}\,\bigl|A^{t}\bigr| \;\overset{|A^{t}| = |A|}{=}\; 9\cdot4 = 36

(El orden es $n = 2$ , así que el escalar sale al cuadrado.)

Segundo determinante. Partimos de

\begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c\end{pmatrix}

Sacamos factor común de cada fila (

2

de la primera,

-3

de la segunda):

\begin{vmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c\end{vmatrix} = 2\cdot(-3)\begin{vmatrix} b & a \\ d & c\end{vmatrix} = -6\begin{vmatrix} b & a \\ d & c\end{vmatrix}

Intercambiamos las dos columnas (cambia el signo):

\begin{vmatrix} b & a \\ d & c\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} = -4

\begin{vmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c\end{vmatrix} = -6\cdot(-4) = 24

Comprobación directa:

\;(2b)(-3c)-(2a)(-3d) = -6bc+6ad = 6\,(ad-bc) = 6\cdot4 = 24

\;\checkmark

b) $\det\bigl(A^{-1}A^{t}\bigr)$ .

\bigl|A^{-1}A^{t}\bigr| = \bigl|A^{-1}\bigr|\cdot\bigl|A^{t}\bigr| = \frac{1}{|A|}\cdot|A| = 1

(Vale para cualquier matriz invertible: el resultado no depende de que $|A|$ sea $4$ .)

c) $\det(B)$ con $B^{3} = I$ .

Tomando determinantes en la igualdad:

\bigl|B^{3}\bigr| = |I| \;\Longrightarrow\; |B|^{3} = 1

Como

|B|

es un número real y la única raíz cúbica real de

1

1

\det(B) = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $|kA| = k^{n}|A|$ (toda la matriz) con sacar factor común de una fila (multiplica una sola vez). En la segunda matriz de a) hay que usar la segunda propiedad, fila a fila.

Intercambiar dos filas o dos columnas cambia el signo. Es lo que convierte $\begin{vmatrix} b & a \\ d & c\end{vmatrix}$ en $-4$ , y donde más se falla.

En c), toma determinantes en la igualdad matricial: $|B|^{3} = |I| = 1$ . Y como $|B|$ es real, la única solución es $1$ (las otras dos raíces cúbicas de la unidad son complejas).