Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3.

a) [1,75 puntos] Discute, según los valores del parámetro

\lambda

, el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} -x & + & \lambda y & + & z & = & \lambda \\ \lambda x & + & 2y & + & (\lambda+2)z & = & 4 \\ x & + & 3y & + & 2z & = & 6-\lambda\end{array}\right\}

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema anterior para

\lambda = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -\lambda^{2}+8\lambda = -\lambda\,(\lambda-8)\;}

\boxed{\;\lambda\neq0,8: \ \text{compatible determinado}\;}

\boxed{\;\lambda = 0: \ \operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 \Rightarrow \text{S.C.I.}; \quad \lambda = 8: \ 2\neq3 \Rightarrow \text{incompatible}\;}

\boxed{\;\lambda = 0: \ (x,y,z) = (t,\; 2-t,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El parámetro aparece en los coeficientes y en los términos independientes, así que en cada valor crítico hay que mirar la ampliada con cuidado: los dos casos salen distintos.

El determinante se simplifica mucho: los términos de grado

2

se cancelan y queda

-\lambda(\lambda-8)

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} -1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 2 & \lambda+2 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} \lambda \\ 4 \\ 6-\lambda\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = -1\bigl[4-3(\lambda+2)\bigr]-\lambda\bigl[2\lambda-(\lambda+2)\bigr]+1\,(3\lambda-2)

= -1\,(-3\lambda-2)-\lambda\,(\lambda-2)+3\lambda-2

= 3\lambda+2-\lambda^{2}+2\lambda+3\lambda-2 = -\lambda^{2}+8\lambda

\det M = -\lambda\,(\lambda-8) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda = 8

a) Discusión.

Caso $\lambda\neq0$ y $\lambda\neq8$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 6\end{array}\right)

El menor

\;\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2\end{vmatrix} = -2 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2

. Orlándolo con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 6\end{vmatrix} = -1\,(12-12) = 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

(De hecho $F_{3} = -F_{1}+\frac32 F_{2}$ , término independiente incluido.)

Caso $\lambda = 8$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 8 & 1 & \phantom{-}8 \\ 8 & 2 & 10 & \phantom{-}4 \\ 1 & 3 & 2 & -2\end{array}\right)

El menor

\;\begin{vmatrix} -1 & 8 \\ 8 & 2\end{vmatrix} = -66 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2

. Pero al orlar con los términos independientes:

\begin{vmatrix} -1 & 8 & 8 \\ 8 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & -2\end{vmatrix} = 352 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}M^{*} \;\Longrightarrow\; \textbf{Sistema incompatible}

b) Resolución para $\lambda = 0$ .

\begin{cases} -x+z = 0 \\ 2y+2z = 4 \\ x+3y+2z = 6\end{cases}

De la primera:

\;z = x

. De la segunda:

\;y+z = 2 \Rightarrow y = 2-x

.

Comprobación en la tercera (la redundante):

x+3\,(2-x)+2x = x+6-3x+2x = 6 \;\checkmark \quad \text{(para todo } x)

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; 2-t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos valores críticos no se comportan igual: en $\lambda=0$ el sistema es indeterminado y en $\lambda=8$ incompatible. Hay que estudiar la ampliada en cada uno; no vale generalizar.

Para calcular $\operatorname{rg}M^{*}$ , orla un menor de orden $2$ no nulo con la columna de términos independientes: un solo determinante de orden $3$ en vez de cuatro.

Al resolver, sustituye en la ecuación que no has usado: si se cumple para todo valor del parámetro, confirma que era redundante y que la solución es correcta.