Sistemas de ecuaciones

El producto $BA$. Multiplicando la fila $B$ por cada columna de $A$:$$BA = \begin{pmatrix} \alpha x + y + z & \alpha y + x + z & \alpha z + x + y \end{pmatrix}$$Igualando a $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ se obtiene el sistema anunciado, con matriz de coeficientes$$M = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$a) Determinante. Sumando las tres columnas a la primera, todas las entradas de esa columna valen $\alpha + 2$:$$|M| = (\alpha + 2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{array}\right| = (\alpha + 2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha - 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha - 1 \end{array}\right| = (\alpha + 2)(\alpha - 1)^{2}$$(restando la primera fila a las otras dos en el segundo paso).

Discusión.

Caso 1: $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -2$. $|M| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^{*}) = 3$: sistema compatible determinado. Por simetría del sistema, la solución es $x = y = z$, y sustituyendo en cualquier ecuación:$$\alpha x + x + x = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{\alpha + 2}$$$$x = y = z = \frac{1}{\alpha + 2}$$Caso 2: $\alpha = 1$. Las tres ecuaciones se convierten en la misma, $x + y + z = 1$:$$\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^{*}) = 1 < 3$$Sistema compatible indeterminado con dos parámetros.

Caso 3: $\alpha = -2$.$$M = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$El menor $\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right| = 3 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(M) = 2$. Pero al sumar las tres ecuaciones el primer miembro se anula y el segundo no:$$0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 3 \quad \text{(absurdo)}$$luego $\operatorname{rg}(M^{*}) = 3 \neq 2$: sistema incompatible.

b) Los dos casos pedidos.

Para $\alpha = 0$, estamos en el caso 1:$$x = y = z = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$(Comprobación: $0\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Correcto.)

Para $\alpha = 1$, estamos en el caso 2. La única ecuación es $x + y + z = 1$, así que$$x = 1 - s - t, \qquad y = s, \qquad z = t, \qquad s, t \in \mathbb{R}$$Geométricamente, las tres ecuaciones representan el mismo plano y las soluciones son todos sus puntos.