Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}

halla la matriz

X

que cumple

A\,X = \bigl(A^{-1}A^{t} + I\bigr)^{2}

siendo

A^{t}

la matriz traspuesta de

A

I

la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{t} = A \;\Longrightarrow\; A^{-1}A^{t} = I \;\Longrightarrow\; \bigl(A^{-1}A^{t}+I\bigr)^{2} = (2I)^{2} = 4I\;}

\boxed{\;A\,X = 4I \;\Longrightarrow\; X = 4A^{-1}, \qquad |A| = 4\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de calcular nada, mira la matriz:

A

es simétrica (

a_{ij} = a_{ji}

), es decir

A^{t} = A

Eso hace que todo el segundo miembro se derrumbe:

A^{-1}A^{t} = A^{-1}A = I \;\Longrightarrow\; \bigl(A^{-1}A^{t} + I\bigr)^{2} = (I + I)^{2} = (2I)^{2} = 4I

La ecuación se reduce a

A\,X = 4I

, luego

X = 4A^{-1}

. Todo el ejercicio se convierte en calcular una inversa.

Desarrollo

Paso 1: $A$ es simétrica.

A^{t} = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix} = A

A^{-1}A^{t} + I = A^{-1}A + I = I + I = 2I

\bigl(A^{-1}A^{t} + I\bigr)^{2} = (2I)^{2} = 4I^{2} = 4I

Paso 2: despejar $X$ .

A\,X = 4I \;\Longrightarrow\; X = 4\,A^{-1}

(hace falta que

A

sea invertible; lo comprobamos a continuación).

Paso 3: la inversa de $A$ .

|A| = 5\,(2 - 4) - 4\,(4 - 6) + 3\,(8 - 6) = -10 + 8 + 6 = 4 \neq 0

Adjuntos (al ser

A

simétrica, la matriz de adjuntos también lo es y la trasposición no cambia nada):

A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right| = -2 \qquad A_{12} = -\left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right| = 2 \qquad A_{13} = \left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & 2\end{array}\right| = 2

A_{21} = -\left|\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right| = 2 \qquad A_{22} = \left|\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right| = -4 \qquad A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right| = 2

A_{31} = \left|\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 2 & 2\end{array}\right| = 2 \qquad A_{32} = -\left|\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right| = 2 \qquad A_{33} = \left|\begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 4 & 2\end{array}\right| = -6

A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}2 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2 & -4 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}2 & -6\end{pmatrix}

Paso 4: la solución.

X = 4A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}2 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2 & -4 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}2 & -6\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,X = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix} = 4I \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira la matriz antes de calcular. Detectar que $A$ es simétrica convierte una expresión temible —una inversa, una traspuesta, una suma y un cuadrado de matrices— en un simple $4I$ . Sin ese paso tendrías que calcular $A^{-1}$ , multiplicar, sumar la identidad y elevar al cuadrado una matriz $3\times 3$ : muchísimo más trabajo y muchas más ocasiones de fallar.

Recuerda que $(2I)^{2} = 4I$ , no $2I$ : el escalar también se eleva al cuadrado.

Y aunque $A$ sea simétrica —lo que hace innecesario trasponer la matriz de adjuntos—, no olvides que en el caso general sí hay que trasponerla. Comprobar $A\,X = 4I$ al final te protege de cualquier desliz.