Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} mx - \phantom{m}y + 13z = 0 \\ 2x - my + \phantom{1}4z = 0 \\ \phantom{2}x + \phantom{m}y + \phantom{1}7z = 0\end{cases}

a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de

m

para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para

m = 3

. En este caso, ¿hay alguna solución en la que

x = 10

? Razona tu respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Sistema homogéneo} \;\Longrightarrow\; \text{infinitas soluciones} \Longleftrightarrow |A| = 0\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -(m-3)(7m+12) = 0 \;\Longrightarrow\; m = 3 \text{ o } m = -\tfrac{12}{7}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (-5t,\,-2t,\,t); \quad \text{con } x = 10 \Rightarrow t = -2: \; (10,\, 4,\, -2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema es homogéneo: los tres términos independientes son

0

. Eso simplifica radicalmente la discusión, porque un sistema homogéneo nunca es incompatible (siempre tiene la solución trivial

(0,0,0)

).

Por tanto, "tener infinitas soluciones" equivale exactamente a que el rango baje, es decir, a que

|A| = 0

No hay que estudiar la matriz ampliada para nada.

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = \left|\begin{array}{ccc} m & -1 & 13 \\ 2 & -m & \phantom{1}4 \\ 1 & \phantom{-}1 & \phantom{1}7\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= m\,\bigl(-7m - 4\bigr) + 1\,\bigl(14 - 4\bigr) + 13\,\bigl(2 + m\bigr)

= -7m^{2} - 4m + 10 + 26 + 13m = -7m^{2} + 9m + 36

Factorizando:

-7m^{2} + 9m + 36 = -\bigl(7m^{2} - 9m - 36\bigr) = -(m - 3)(7m + 12)

(Raíces: $m = \dfrac{9 \pm \sqrt{81 + 1008}}{14} = \dfrac{9 \pm 33}{14}$ , es decir $m = 3$ y $m = -\dfrac{12}{7}$ .)

Condición de infinitas soluciones. Al ser homogéneo:

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 3 \quad \text{o} \quad m = -\frac{12}{7}

(para cualquier otro

m

, la única solución es la trivial

(0,0,0)

).

b) Caso $m = 3$ .

\begin{cases} 3x - \phantom{3}y + 13z = 0 \\ 2x - 3y + \phantom{1}4z = 0 \\ \phantom{3}x + \phantom{3}y + \phantom{1}7z = 0\end{cases}

El menor

\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 2 & -3\end{array}\right| = -9 + 2 = -7 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

: hay un parámetro.

Tomamos

z = t

y resolvemos con las dos primeras ecuaciones:

\begin{cases} 3x - \phantom{3}y = -13t \\ 2x - 3y = -\phantom{1}4t\end{cases}

Multiplicando la primera por

3

y restando la segunda:

9x - 3y - (2x - 3y) = -39t + 4t \;\Longrightarrow\; 7x = -35t \;\Longrightarrow\; x = -5t

y = 3x + 13t = -15t + 13t = -2t

(x, y, z) = \bigl(-5t,\; -2t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(La tercera ecuación se cumple: $-5t - 2t + 7t = 0\;\checkmark$ )

¿Hay solución con $x = 10$ ? Sí:

-5t = 10 \;\Longrightarrow\; t = -2 \;\Longrightarrow\; (x,y,z) = (10,\, 4,\, -2)

Comprobación:

\;30 - 4 - 26 = 0\;\checkmark

;

\;20 - 12 - 8 = 0\;\checkmark

;

\;10 + 4 - 14 = 0\;\checkmark

Razón de fondo: las soluciones forman una recta que pasa por el origen con director

(-5,-2,1)

; como su primera componente no es nula, la

x

recorre todos los reales y cualquier valor de

x

se alcanza.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce el sistema homogéneo desde el principio: nunca es incompatible, así que la discusión se reduce a mirar $|A|$ . Estudiar la matriz ampliada es trabajo perdido —su rango coincide siempre con el de $A$ , porque la columna añadida es de ceros.

"Infinitas soluciones" no equivale a "compatible": un homogéneo con $|A|\neq 0$ es compatible determinado, con la única solución $(0,0,0)$ . La palabra clave es infinitas.

En b), la respuesta razonada es más valiosa que el número: como la solución general es una recta $(-5t,-2t,t)$ con la primera componente no nula, cualquier valor de $x$ es alcanzable. Basta despejar el parámetro.