Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} x + \phantom{m}y + m\,z = m^{2} \\ \phantom{x + {}} \phantom{m}y - \phantom{m}z = m \\ x + m\,y + \phantom{m}z = m\end{cases}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro

m

.

b) [1 punto] Resuélvelo para

m = 1

. Para dicho valor de

m

, calcula, si es posible, una solución en la que

z = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 0 \text{ para todo } m, \text{ y } \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ siempre}\;}

\boxed{\;\text{Menor orlado} = -2m(m-1): \quad m = 0 \text{ o } m = 1 \Rightarrow \text{indeterminado}; \quad \text{resto} \Rightarrow \text{incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (-2t,\; 1+t,\; t); \qquad \text{con } z = 2: \; (-4,\, 3,\, 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Este sistema tiene una sorpresa: al calcular el determinante de la matriz de coeficientes, todos los términos se cancelan:

|A| = 0 \qquad \text{para todo } m

Eso cambia por completo la discusión. El sistema nunca es compatible determinado, y toda la información está en el rango de la matriz ampliada: hay que orlar el menor de orden 2 con la columna de términos independientes y ver para qué valores de

m

se anula ese determinante.

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & m^{2} \\ 0 & 1 & -1 & m \\ 1 & m & 1 & m\end{array}\right)

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\,\bigl(1 + m\bigr) - 1\,\bigl(0 + 1\bigr) + m\,\bigl(0 - 1\bigr) = 1 + m - 1 - m = 0

|A| = 0 \qquad \textbf{para todo } m

Rango de $A$ . El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0

no depende de $m$ , luego

\operatorname{rg}(A) = 2 \qquad \text{siempre}

Rango de la ampliada. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & m^{2} \\ 0 & 1 & m \\ 1 & m & m\end{array}\right| = 1\,\bigl(m - m^{2}\bigr) - 1\,\bigl(0 - m\bigr) + m^{2}\,\bigl(0 - 1\bigr)

= m - m^{2} + m - m^{2} = 2m - 2m^{2} = -2m\,(m - 1)

Discusión.

-2m(m-1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 1

Si $m = 0$ o $m = 1$ : $\;\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \Rightarrow$ compatible indeterminado (un parámetro).
En cualquier otro caso: $\;\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \Rightarrow$ incompatible.

Nunca hay solución única.

b) Caso $m = 1$ . El sistema es

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ \phantom{x + {}} y - z = 1 \\ x + y + z = 1\end{cases}

La tercera ecuación es idéntica a la primera. Quedan dos ecuaciones independientes. Tomando

z = t

y = 1 + t

x = 1 - y - z = 1 - (1+t) - t = -2t

(x, y, z) = \bigl(-2t,\; 1 + t,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

Solución con $z = 2$ . Basta tomar

t = 2

(x, y, z) = (-4,\, 3,\, 2)

Comprobación:

\;-4 + 3 + 2 = 1\;\checkmark

\;3 - 2 = 1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si el determinante te sale idénticamente cero, no es un error de cálculo: revísalo una vez y, si se confirma, cambia de estrategia. Ya no hay "valores que anulan $|A|$ "; lo que discrimina es el menor orlado de la matriz ampliada.

Y como $|A| = 0$ siempre, puedes afirmar de entrada que el sistema jamás es compatible determinado, sea cual sea $m$ . Decirlo explícitamente ordena toda la discusión.

En b), fíjate en que la tercera ecuación coincide con la primera: eso confirma sobre el papel el rango $2$ y ahorra tener que aplicar Gauss.