Sistemas de ecuaciones

Incógnitas. $x$, $y$, $z$ = precio (en euros) de un perfume de tipo A, B y C respectivamente. Los datos son$$\begin{cases} 20x + 30y + 15z = 2200 \\ 15x + 10y + 10z = 1250 \end{cases}$$a) El importe del tercer pedido. Buscamos $\alpha,\beta$ tales que$$\alpha\,(20,\,30,\,15) + \beta\,(15,\,10,\,10) = (25,\,10,\,16)$$lo que da tres ecuaciones:$$\begin{cases} 20\alpha + 15\beta = 25 \\ 30\alpha + 10\beta = 10 \\ 15\alpha + 10\beta = 16 \end{cases}$$De la segunda, $3\alpha + \beta = 1$, es decir $\beta = 1 - 3\alpha$. Sustituyendo en la primera (dividida por $5$: $4\alpha + 3\beta = 5$):$$4\alpha + 3(1 - 3\alpha) = 5 \;\Longrightarrow\; -5\alpha = 2 \;\Longrightarrow\; \alpha = -\frac{2}{5}, \qquad \beta = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$$Hay que verificar la tercera ecuación (si no se cumpliera, el pedido no sería combinación de los anteriores y el problema no tendría solución):$$15\left(-\frac{2}{5}\right) + 10\cdot\frac{11}{5} = -6 + 22 = 16$$Se cumple, así que el reparto es válido.

Por tanto el nuevo pedido es $-\frac{2}{5}$ del primero más $\frac{11}{5}$ del segundo, y su importe es esa misma combinación:$$\text{Importe} = -\frac{2}{5}\cdot 2200 + \frac{11}{5}\cdot 1250 = -880 + 2750 = 1870 \ \text{euros}$$b) Los precios. La nueva condición es $z = \dfrac{2}{5}x$. Sustituyendo en las dos ecuaciones:$$20x + 30y + 15\cdot\frac{2x}{5} = 2200 \;\Longrightarrow\; 20x + 30y + 6x = 2200 \;\Longrightarrow\; 26x + 30y = 2200$$$$15x + 10y + 10\cdot\frac{2x}{5} = 1250 \;\Longrightarrow\; 15x + 10y + 4x = 1250 \;\Longrightarrow\; 19x + 10y = 1250$$De la segunda, $10y = 1250 - 19x$. Llevándolo a la primera (que tiene $30y = 3\cdot 10y$):$$26x + 3\,(1250 - 19x) = 2200 \;\Longrightarrow\; 26x + 3750 - 57x = 2200 \;\Longrightarrow\; -31x = -1550$$$$x = 50 \;\Longrightarrow\; 10y = 1250 - 950 = 300 \;\Longrightarrow\; y = 30 \;\Longrightarrow\; z = \frac{2}{5}\cdot 50 = 20$$Comprobación. Primer pedido: $20\cdot 50 + 30\cdot 30 + 15\cdot 20 = 1000 + 900 + 300 = 2200$ ✓. Segundo: $15\cdot 50 + 10\cdot 30 + 10\cdot 20 = 750 + 300 + 200 = 1250$ ✓. Y el pedido del apartado a): $25\cdot 50 + 10\cdot 30 + 16\cdot 20 = 1250 + 300 + 320 = 1870$ ✓, que coincide con lo obtenido sin conocer los precios.