Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} x + \phantom{2}y + m\,z = 1 \\ x + m\,y + \phantom{2}z = 1 \\ x + 2y + 4z = m\end{cases}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema en función del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para

m = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -(m-1)(m-5)\;}

\boxed{\;m \neq 1,\, 5: \text{ determinado} \quad\big|\quad m = 1: \text{ indeterminado} \quad\big|\quad m = 5: \text{ incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (1 + 2t,\; -3t,\; t), \qquad t\in\mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión estándar por Rouché–Frobenius: se calcula

|A|

, se localizan sus raíces y se estudia cada una comparando rangos.

Aquí el determinante da una parábola con dos raíces sencillas, y los dos casos críticos se comportan de forma opuesta: uno indeterminado y otro incompatible. La diferencia está en si los términos independientes respetan o no la relación entre filas.

En el caso

m=1

salta a la vista: las dos primeras ecuaciones se vuelven idénticas, término independiente incluido.

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & m\end{array}\right)

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\,(4m - 2) - 1\,(4 - 1) + m\,(2 - m)

= 4m - 2 - 3 + 2m - m^{2} = -m^{2} + 6m - 5

= -\bigl(m^{2} - 6m + 5\bigr) = -(m-1)(m-5)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = 5

Caso $m \neq 1$ y $m \neq 5$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = 1$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 1\end{array}\right)

Las dos primeras filas son idénticas, término independiente incluido: sobra una. Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right| = 2 \neq 0

(filas primera y tercera, columnas segunda y tercera):

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}

Caso $m = 5$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 5\end{array}\right)

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right| = 4 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

. Orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right| = 1\,(25 - 2) - 1\,(5 - 1) + 1\,(2 - 5) = 23 - 4 - 3 = 16 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

b) Resolución con $m = 1$ . Quedan dos ecuaciones independientes:

\begin{cases} x + \phantom{2}y + \phantom{4}z = 1 \\ x + 2y + 4z = 1\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

y + 3z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -3z

Y de la primera, tomando

z = t

x = 1 - y - z = 1 + 3t - t = 1 + 2t

(x, y, z) = \bigl(1 + 2t,\; -3t,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

Comprobación:

\;(1+2t) + (-3t) + t = 1\;\checkmark

;

\;(1+2t) + 2(-3t) + 4t = 1 + 2t - 6t + 4t = 1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos valores críticos dan resultados opuestos: uno indeterminado y otro incompatible. Estudiarlos por separado no es opcional; decir "para $m=1$ y $m=5$ el sistema es indeterminado" pierde media discusión.

Elige bien el menor de orden 2 en cada caso. Con $m=1$ las dos primeras filas coinciden, así que hay que tomar un menor que use la tercera fila; si insistes con las dos primeras, todos los menores se anulan y creerás que el rango es $1$ .

Fíjate en la señal más rápida: con $m=1$ las dos primeras ecuaciones son la misma (incluido el $1$ de la derecha), lo que anuncia directamente el sistema indeterminado sin necesidad de rangos.