Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones dado por

A\,X = B

siendo

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m+2 & -3\end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [1 punto] Para

m = -2

, ¿existe alguna solución con

z = 0

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = (m-4)(m+2)\;}

\boxed{\;m \neq 4,\, -2: \text{ compatible determinado} \quad\big|\quad m = 4: \text{ incompatible} \quad\big|\quad m = -2: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{La tercera ecuación es } -3z = 1 \Rightarrow z = -\tfrac13 \text{ siempre}: \text{ no hay solución con } z = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión estándar por Rouché–Frobenius: primero

|A|

en función de

m

, que dará los valores conflictivos; para el resto, sistema de Cramer con solución única.

En cada valor crítico hay que comparar

\operatorname{rg}(A)

con

\operatorname{rg}(A^{*})

por separado — no todos los valores que anulan el determinante dan el mismo tipo de sistema.

El apartado b) tiene truco: no hace falta resolver del todo. La tercera ecuación con

m = -2

deja la

y

fuera y determina la

z

por sí sola.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna (tiene un cero):

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ m+2 & -3\end{array}\right| - m\cdot\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ m+2 & -3\end{array}\right|

= \bigl(-12 + 2(m+2)\bigr) - m\,\bigl(6 - (m+2)\bigr) = (2m - 8) - m\,(4 - m)

= 2m - 8 - 4m + m^{2} = m^{2} - 2m - 8 = (m - 4)(m + 2)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 4 \quad \text{o} \quad m = -2

Caso $m \neq 4$ y $m \neq -2$ .

|A| \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3 = n

: compatible determinado (solución única).

Caso $m = 4$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & -2 & 8 \\ 0 & 6 & -3 & 1\end{array}\right)

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 4 & 4\end{array}\right| = 4 + 8 = 12 \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = 2

.

Orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 4 & 8 \\ 0 & 6 & 1\end{array}\right| = 1\,(4 - 48) + 2\,(4 - 0) + 2\,(24 - 0) = -44 + 8 + 48 = 12 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

Caso $m = -2$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 2 \\ -2 & 4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & 1\end{array}\right)

La segunda fila es la primera multiplicada por

-2

, también en el término independiente (

-2\cdot 2 = -4

): es redundante. El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right| = -3 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}

b) Caso $m = -2$ : ¿hay solución con $z = 0$ ? La tercera ecuación es

-3z = 1 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{1}{3}

Esa ecuación no contiene $x$ ni $y$ : fija el valor de

z

en todas las soluciones del sistema. Como

-\frac13 \neq 0

\text{No existe ninguna solución con } z = 0

(Para verlo del todo: la solución general es $z = -\tfrac13$ , y de la primera ecuación $x = 2 + 2y - z = \tfrac73 + 2y$ , con $y = t$ libre. En ninguna aparece $z = 0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los valores que anulan $|A|$ hay que estudiarlos uno a uno: aquí $m=4$ da un sistema incompatible y $m=-2$ uno indeterminado. Escribir "para $m = 4$ y $m = -2$ el sistema es compatible indeterminado" es el error clásico, y cuesta medio ejercicio.

En b), antes de lanzarte a resolver, mira si alguna ecuación ya responde a la pregunta. La tercera fila $(0,0,-3\,|\,1)$ obliga a $z = -\tfrac13$ en toda solución: con eso el apartado está justificado en dos líneas, sin necesidad de la solución general.