Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 3. Considera

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Determina los valores de

m

para los que

A\,B

no tiene inversa.

b) [0,75 puntos] Determina los valores de

m

para los que

B\,A

no tiene inversa.

c) [1 punto] Para

m = 0

, resuelve, si es posible, el sistema dado por

B\,A\,X = C

y halla una solución en la que

x + y + z = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A\,B| = -2m = 0 \;\Longrightarrow\; m = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \operatorname{rg}(B\,A) \leq 2 < 3 \;\Longrightarrow\; B\,A \text{ nunca tiene inversa}\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad (1-t,\, t,\, t); \qquad \text{con } x+y+z = 0: \; (2,\, -1,\, -1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el ejercicio se entiende mirando las dimensiones:

$A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$ , luego $A\,B$ es $2\times 2$ y $B\,A$ es $3\times 3$ .
Pero $B\,A$ es producto de matrices de rango $\leq 2$ , así que $\operatorname{rg}(B\,A) \leq 2 < 3$ : su determinante es siempre nulo, sea cual sea $m$ .

Por eso los apartados a) y b) tienen respuestas de naturaleza distinta: en a) hay que resolver una ecuación, y en b) la respuesta es "para todos".

En c), el sistema es compatible indeterminado y hay que localizar dentro de la solución general la que cumple la condición extra.

Desarrollo

a) El producto $A\,B$ .

A\,B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Entrada a entrada:

(1,1): \; 2 - 1 + 1 = 2 \qquad (1,2): \; 0 + m + 1 = m + 1

(2,1): \; 1 - 0 + 1 = 2 \qquad (2,2): \; 0 + 0 + 1 = 1

A\,B = \begin{pmatrix} 2 & m+1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A\,B| = 2 - 2\,(m+1) = -2m

|A\,B| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0

Para

m = 0

la matriz

A\,B

no tiene inversa.

b) El producto $B\,A$ . Es una matriz

3\times 3

, pero

\operatorname{rg}(B\,A) \leq \min\bigl\{\operatorname{rg}(B),\, \operatorname{rg}(A)\bigr\} \leq 2 < 3

porque

A

tiene solo dos filas y

B

solo dos columnas. Por tanto

|B\,A| = 0

para todo $m$ :

B\,A \text{ no tiene inversa para ningún valor de } m

c) Caso $m = 0$ .

B\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}

El sistema

B\,A\,X = C

\begin{cases} \phantom{-}2x + \phantom{-}y + \phantom{2}z = \phantom{-}2 \\ -2x - \phantom{-}y - \phantom{2}z = -2 \\ \phantom{-}3x + \phantom{-}y + 2z = \phantom{-}3 \end{cases}

Discusión. La segunda ecuación es la primera cambiada de signo (incluido el término independiente): no aporta información. El menor de las filas primera y tercera,

\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\right| = 2 - 3 = -1 \neq 0

\operatorname{rg}(B\,A) = 2 = \operatorname{rg}(A^{*}) < 3

: sistema compatible indeterminado con un parámetro.

Resolución. Restando la primera de la tercera:

(3x + y + 2z) - (2x + y + z) = 3 - 2 \;\Longrightarrow\; x + z = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 - z

Y sustituyendo en la primera:

2\,(1 - z) + y + z = 2 \;\Longrightarrow\; 2 - 2z + y + z = 2 \;\Longrightarrow\; y = z

\text{Solución general: } \quad (x, y, z) = \bigl(1 - t,\; t,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

La solución con $x + y + z = 0$ .

(1 - t) + t + t = 1 + t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

(x, y, z) = (2,\, -1,\, -1)

Comprobación:

\;2\cdot 2 - 1 - 1 = 2\;\checkmark

;

\;3\cdot 2 - 1 - 2 = 3\;\checkmark

; y

2 - 1 - 1 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira las dimensiones antes de calcular: $A\,B$ es $2\times 2$ y $B\,A$ es $3\times 3$ , y son matrices completamente distintas. El apartado b) no se resuelve calculando $|B\,A|$ con $m$ dentro y buscando raíces: se resuelve razonando sobre el rango, porque el determinante es nulo para todos los valores.

Y en c), cuando el enunciado pide "una solución en la que…", primero halla la solución general en forma paramétrica y luego ajusta el parámetro. Buscar directamente la solución con la condición añadida es dar palos de ciego.