Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad

\;A^{3} = -I

, siendo

I

la matriz identidad de orden

3

.

b) [1,25 puntos] Justifica que

A

es invertible y halla su inversa.

c) [0,75 puntos] Calcula razonadamente

A^{100}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3\end{pmatrix}, \qquad A^{3} = -I \;\checkmark\;}

\boxed{\;|A|^{3} = |-I| = -1 \Rightarrow |A| = -1 \neq 0: \ A \text{ invertible}\;}

\boxed{\;A\,(-A^{2}) = I \Rightarrow A^{-1} = -A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;100 = 3\cdot33+1 \Rightarrow A^{100} = (-I)^{33}A = -A\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La relación

A^{3} = -I

lo resuelve todo:

b) $A\cdot\bigl(-A^{2}\bigr) = -A^{3} = I$ , luego $A^{-1} = -A^{2}$ sin calcular ninguna adjunta.
c) Las potencias son periódicas de periodo $6$ (porque $A^{6} = (-I)^{2} = I$ ). Basta con dividir $100$ entre $3$ (o entre $6$ ) y quedarse con el resto.

100 = 3\cdot33+1 \;\Longrightarrow\; A^{100} = \bigl(A^{3}\bigr)^{33}\cdot A = (-I)^{33}A = -A

Desarrollo

a) La igualdad $A^{3} = -I$ . Primero

A^{2}

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3\end{pmatrix}

(Por ejemplo, la primera fila: $\;0-3+(-4) = -1$ ; $\;0-12+12 = 0$ ; $\;0-15+16 = 1$ .)

Y ahora $A^{3} = A^{2}\cdot A$ :

A^{3} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = -I \;\checkmark

(Primera fila: $\;0+0-1 = -1$ ; $\;-3+0+3 = 0$ ; $\;-4+0+4 = 0$ .)

b) $A$ es invertible. De

A^{3} = -I

, tomando determinantes:

|A|^{3} = |-I| = (-1)^{3} = -1 \;\Longrightarrow\; |A| = -1 \neq 0

luego

A

tiene inversa.

La inversa, sin adjuntas. De

A^{3} = -I

A\cdot A^{2} = -I \;\Longrightarrow\; A\cdot\bigl(-A^{2}\bigr) = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = -A^{2}

A^{-1} = -\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3\end{pmatrix}

Comprobación (primera fila de

A\,A^{-1}

0-3+4 = 1 \qquad 0-12+12 = 0 \qquad 0-12+12 = 0 \;\checkmark

c) $A^{100}$ . Dividimos el exponente entre

3

100 = 3\cdot33+1

A^{100} = \bigl(A^{3}\bigr)^{33}\cdot A^{1} = (-I)^{33}\cdot A

Como

33

es impar,

\;(-I)^{33} = -I

A^{100} = -I\cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{pmatrix}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando una potencia de $A$ da $\pm I$ , nunca calcules la inversa con adjuntas: despeja directamente de la relación. Aquí $A\,(-A^{2}) = I$ da $A^{-1}$ en una línea.

Para justificar que es invertible, tomar determinantes en la igualdad ( $|A|^{3} = -1$ ) es más elegante que desarrollar $|A|$ a mano, y demuestra que has entendido la propiedad.

En potencias altas, divide el exponente entre el periodo y quédate con el resto. Ojo a la paridad del cociente: $(-I)^{33} = -I$ porque $33$ es impar.