Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Calcula

A^{10}

.

b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de

I + A + A^{2}

, donde

I

denota la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{3} = O \;\Longrightarrow\; A^{10} = O \text{ (matriz nula)}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \bigl(I + A + A^{2}\bigr)^{-1} = I - A = \begin{pmatrix} 1 & -a & b \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

A

es triangular superior con la diagonal nula: una matriz nilpotente. En este tipo de matrices las potencias se apagan rápidamente, y la clave de todo el ejercicio es descubrir en qué potencia se anula.

Una vez visto que

A^{3} = O

, el apartado b) sale sin calcular ni un adjunto, gracias a la identidad algebraica

(I - A)\bigl(I + A + A^{2}\bigr) = I - A^{3}

que es la versión matricial de

(1-x)(1+x+x^{2}) = 1 - x^{3}

(y es válida porque

A

conmuta consigo misma y con

I

). Si

A^{3} = O

, el producto vale

I

: eso es la definición de matriz inversa.

Desarrollo

Potencias de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(La única entrada no nula es la $(1,3)$ : $\;0\cdot(-b) + a\cdot b + (-b)\cdot 0 = ab$ .)

A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O

a) A partir de la tercera potencia todo se anula:

A^{10} = A^{3}\cdot A^{7} = O\cdot A^{7} = O

A^{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

b) La identidad de la suma geométrica. Desarrollando el producto (todo conmuta):

(I - A)\bigl(I + A + A^{2}\bigr) = I + A + A^{2} - A - A^{2} - A^{3} = I - A^{3} = I - O = I

Análogamente,

\bigl(I + A + A^{2}\bigr)(I - A) = I

. Por definición de inversa,

\bigl(I + A + A^{2}\bigr)^{-1} = I - A = \begin{pmatrix} 1 & -a & b \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

(Que la inversa exista era previsible sin cuentas: $I + A + A^{2}$ es triangular superior con unos en la diagonal, así que su determinante vale $1 \neq 0$ cualesquiera que sean $a$ y $b$ .)

Comprobación directa.

I + A + A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & a & ab - b \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & a & ab-b \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -a & b \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \checkmark

(Entrada $(1,3)$ : $\;1\cdot b + a\cdot(-b) + (ab-b)\cdot 1 = b - ab + ab - b = 0$ .)

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Consejo

No calcules $A^{10}$ multiplicando diez veces. Calcula $A^{2}$ , luego $A^{3}$ , observa que sale la matriz nula y justifica que a partir de ahí todas las potencias se anulan. Es un párrafo, no una página.

En b), la vía larga (calcular $I+A+A^{2}$ y luego su inversa por adjuntos) funciona y vale los puntos, pero es tres veces más trabajo. Reconocer la identidad $(I-A)(I+A+A^{2}) = I - A^{3}$ y usar que $A^{3}=O$ resuelve el apartado en dos líneas y demuestra que has entendido para qué servía el apartado a).