Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Encuentra la matriz

X

que satisface la ecuación

\;X\,A+A^{3}B = A

, siendo

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = A \ \text{ y } \ A^{3} = A\;}

\boxed{\;X\,A = A-A\,B \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A-A\,B\bigr)A\;}

\boxed{\;A\,B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{pmatrix}, \qquad A-A\,B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de nada, mira la matriz $A$ : es la matriz que intercambia la primera y la tercera coordenadas. Al aplicarla dos veces se vuelve al punto de partida, luego

A^{2} = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = A \quad \text{y} \quad A^{3} = A^{2}\cdot A = A

Eso simplifica enormemente la ecuación. Después se despeja: como

A

multiplica a

X

por la derecha, la inversa entra por la derecha:

X\,A = A-A^{3}B = A-A\,B \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A-A\,B\bigr)A^{-1} = \bigl(A-A\,B\bigr)A

Desarrollo

La estructura de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I

\Longrightarrow \quad A^{-1} = A, \qquad A^{3} = A

(También $\det A = -1 \neq 0$ , así que $A$ es invertible.)

Despejando $X$ .

X\,A+A^{3}B = A \;\Longrightarrow\; X\,A = A-A\,B \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A-A\,B\bigr)A^{-1} = \bigl(A-A\,B\bigr)A

El producto $A\,B$ . Multiplicar por

A

a la izquierda intercambia las filas primera y tercera de

B

A\,B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{pmatrix}

La resta.

A-A\,B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}

El producto final por $A$ (a la derecha). Multiplicar por

A

a la derecha intercambia las columnas primera y tercera:

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;X\,A+A^{3}B = A

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Calcula $A^{2}$ antes que nada: sale $I$ , y con eso $A^{3} = A$ y $A^{-1} = A$ . La ecuación se simplifica a la mitad y no hay que invertir nada.

$A$ multiplica a $X$ por la derecha, así que $A^{-1}$ entra por la derecha. Es el error clásico de las ecuaciones matriciales.

$A$ es una matriz de permutación: multiplicar por ella a la izquierda intercambia filas y a la derecha, columnas. Usar eso convierte los dos productos en simples reordenaciones.