Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 7. Considera

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 3a\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Discute el sistema dado por

A\,X = B

, según los valores de

a

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 0

, resuelve el sistema dado por

A\,X = B

. Calcula, si es posible, una solución en la que

y + z = 4

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 0 \text{ siempre y } \operatorname{rg}(A) = 2; \qquad \text{el menor orlado vale } 4a\;}

\boxed{\;a \neq 0: \text{ incompatible} \quad\big|\quad a = 0: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (-t,\, 0,\, t); \qquad \text{con } y + z = 4: \; (-4,\, 0,\, 4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí el parámetro no está en la matriz de coeficientes, sino solo en los términos independientes. Eso cambia el guion habitual:

$|A|$ es un número fijo, no una expresión en $a$ . Se calcula una vez y ya está: aquí resulta ser $0$ , así que el sistema nunca es compatible determinado.
Todo el juego está en el rango de la matriz ampliada: se orla el menor de orden 2 con la columna de términos independientes y se ve para qué $a$ se anula ese determinante.

Desarrollo

a) Determinante de $A$ .

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4\end{array}\right| = 1\,(0\cdot 4 - 1\cdot 1) - 1\,(1\cdot 4 - 1\cdot 4) + 1\,(1\cdot 1 - 0\cdot 4)

= -1 - 0 + 1 = 0

Es nulo para todo $a$ (no depende del parámetro). Además

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right| = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2

(La relación que anula el determinante es $F_{3} = F_{1} + 3F_{2}$ : en efecto, $(1,1,1) + 3\,(1,0,1) = (4,1,4)\;\checkmark$ )

Rango de la ampliada. Orlamos el menor no nulo con la columna de

B

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & 2a \\ 4 & 1 & 3a\end{array}\right| = 1\,(0 - 2a) - 1\,(3a - 8a) + a\,(1 - 0)

= -2a + 5a + a = 4a

Discusión.

a \neq 0: \quad \operatorname{rg}(A^{*}) = 3 > 2 = \operatorname{rg}(A) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

a = 0: \quad \operatorname{rg}(A^{*}) = \operatorname{rg}(A) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}

(Con $a=0$ el sistema es homogéneo, así que la compatibilidad estaba garantizada de antemano. La misma conclusión se obtiene exigiendo que la relación $F_{3} = F_{1} + 3F_{2}$ se cumpla también en los términos independientes: $a + 3\cdot 2a = 7a$ debería valer $3a$ , y eso solo ocurre si $a = 0$ .)

b) Caso $a = 0$ . El sistema es

\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x \phantom{{}+ y} + z = 0 \\ 4x + y + 4z = 0\end{cases}

Restando la segunda de la primera:

y = 0

. La segunda da

x = -z

. Y la tercera se cumple sola, al ser

F_{1} + 3F_{2}

\text{Solución general: } \quad (x, y, z) = (-t,\, 0,\, t), \qquad t \in \mathbb{R}

Solución con $y + z = 4$ .

0 + t = 4 \;\Longrightarrow\; t = 4 \;\Longrightarrow\; (x, y, z) = (-4,\, 0,\, 4)

Comprobación:

\;-4 + 0 + 4 = 0\;\checkmark

;

\;-4 + 4 = 0\;\checkmark

;

\;-16 + 0 + 16 = 0\;\checkmark

; y

\;0 + 4 = 4\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando el parámetro está solo en los términos independientes, no busques valores que anulen $|A|$ : ese determinante es una constante. Lo que hay que discutir es el rango de la ampliada, y para eso se orla un menor de orden 2 con la columna de $B$ .

Si $|A| = 0$ , el sistema nunca puede ser compatible determinado, sea cual sea el parámetro: solo caben "incompatible" e "indeterminado". Decirlo de entrada ordena toda la discusión.

Y observa que $a = 0$ hace el sistema homogéneo: por eso es necesariamente compatible. Es una comprobación de coherencia gratuita.