Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Determina los valores de

m

para que la matriz

A

tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Calcula para

m = 1

, si es posible, la matriz

X

tal que

AX = B^{t}

, donde

B^{t}

denota la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 12m^{2} - 12m - 1; \quad \text{existe } A^{-1} \Longleftrightarrow m \neq \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{6}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = A^{-1}B^{t} = \begin{pmatrix} 5 & 14 & 37 \\ 2 & 3 & 9 \\ 8 & 20 & 53 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Apartado a): determinante con parámetro. Aquí el resultado no factoriza bonito —queda una ecuación de segundo grado con raíces irracionales—, así que hay que usar la fórmula general y no perder tiempo buscando raíces enteras.

Apartado b): ecuación matricial del tipo más simple,

AX = B^{t}

. La incógnita está a la derecha de

A

, así que se multiplica por

A^{-1}

por la izquierda:

X = A^{-1}B^{t}

Antes hay que trasponer

B

(cambiar filas por columnas) y comprobar que

A

es invertible para

m=1

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right| - 2m\cdot\left|\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -3m & 2\end{array}\right| + (-1)\cdot\left|\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ -3m & 1\end{array}\right|

= 1\cdot(0 + 2) - 2m\cdot\bigl(6 - 6m\bigr) - 1\cdot\bigl(3 - 0\bigr) = 2 - 12m + 12m^{2} - 3

|A| = 12m^{2} - 12m - 1

Valores que anulan el determinante.

m = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 48}}{24} = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{24} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{24} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{6}

Numéricamente,

m \approx 1{,}0774

m \approx -0{,}0774

. Por tanto

\text{Existe } A^{-1} \;\Longleftrightarrow\; m \neq \frac{3 + 2\sqrt{3}}{6} \;\text{ y }\; m \neq \frac{3 - 2\sqrt{3}}{6}

b) Caso $m = 1$ .

|A| = 12 - 12 - 1 = -1 \neq 0

luego

A

es invertible y

X = A^{-1}B^{t}

existe y es única.

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Inversa de $A$ . La matriz de adjuntos traspuesta es

\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & -7 & -6 \end{pmatrix}

y como

|A| = -1

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & -7 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 7 & 6 \end{pmatrix}

(Comprobación rápida: $A\,A^{-1} = I$ .)

Producto final.

X = A^{-1}B^{t} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 7 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 14 & 37 \\ 2 & 3 & 9 \\ 8 & 20 & 53 \end{pmatrix}

Por ejemplo, la primera entrada:

(-2)\cdot 1 + 5\cdot(-1) + 4\cdot 3 = -2 - 5 + 12 = 5

.

Comprobación.

A\,X

reproduce

B^{t}

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 14 & 37 \\ 2 & 3 & 9 \\ 8 & 20 & 53 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} = B^{t} \quad \checkmark

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Consejo

No te asustes si el determinante no factoriza: $12m^{2}-12m-1$ no tiene raíces racionales y hay que tirar de la fórmula de la ecuación de segundo grado. Perder cinco minutos buscando un factor entero que no existe es un error de método, no de cuentas.

En b), el lado por el que multiplicas importa. De $AX = B^{t}$ sale $X = A^{-1}B^{t}$ , no $X = B^{t}A^{-1}$ : el producto de matrices no es conmutativo y las dos respuestas son distintas. Y no olvides trasponer $B$ antes de multiplicar; es el paso que más despistes provoca en este ejercicio.