Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} a) [1 punto] Halla, si es posible, A^{-1} y B^{-1}. b) [0,25 puntos] Halla el determinante de A\,B^{2013}A^{t} siendo A^{t} la matriz traspuesta de A. c) [1,25 puntos] Calcula la matriz X que satisface A\,X-B = A\,B.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

a) [1 punto] Halla, si es posible,

A^{-1}

B^{-1}

.

b) [0,25 puntos] Halla el determinante de

A\,B^{2013}A^{t}

siendo

A^{t}

la matriz traspuesta de

A

.

c) [1,25 puntos] Calcula la matriz

X

que satisface

A\,X-B = A\,B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 2 \neq 0; \qquad \det B = 0 \;\Longrightarrow\; B^{-1} \text{ no existe}\;}

\boxed{\;A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac12 \\ -1 & 1 & \frac12 \\ 0 & 0 & \frac12\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b) } \det\bigl(AB^{2013}A^{t}\bigr) = 2\cdot 0^{2013}\cdot 2 = 0\;}

\boxed{\;\text{c) } X = A^{-1}B+B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & \frac52 \\ 3 & -3 & \frac12 \\ 0 & 0 & -\frac32\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es calcular los dos determinantes: uno de ellos se anula, y eso responde media pregunta a).

a) $\det A \neq 0$ (existe $A^{-1}$ ), pero $\det B = 0$ : $B^{-1}$ no existe. Decirlo con la justificación es la respuesta.
b) Sin calcular nada: $\;\det\bigl(AB^{2013}A^{t}\bigr) = \det A\cdot(\det B)^{2013}\cdot\det A^{t}$ , y como $\det B = 0$ , todo el producto es $0$ .
c) Se despeja $A\,X = B+A\,B$ , luego $X = A^{-1}B+B$ (usando $A^{-1}AB = B$ ).

Desarrollo

Los determinantes. Desarrollando por la tercera fila en ambos casos:

\det A = 2\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 2 \neq 0

\det B = -1\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -1\,(1-1) = 0

a) Las inversas. Para

A

, con

A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}

\operatorname{Adj}A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac12 \\[3pt] -1 & 1 & \frac12 \\[3pt] 0 & 0 & \frac12\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1}$ , primera fila: $\;(1+0,\; 0,\; -\tfrac12+\tfrac12) = (1,0,0)$ $\checkmark$ )

\det B = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{B^{-1} \textbf{ no existe}}

(La dependencia entre filas se ve directamente: $F_{1}+F_{2} = (0,0,2) = -2F_{3}$ .)

b) El determinante del producto.

\det\bigl(A\,B^{2013}A^{t}\bigr) = \det A\cdot\bigl(\det B\bigr)^{2013}\cdot\det A^{t} = 2\cdot 0^{2013}\cdot 2 = 0

c) Despejando $X$ .

A\,X-B = A\,B \;\Longrightarrow\; A\,X = B+A\,B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(B+A\,B\bigr) = A^{-1}B+B

El producto $A^{-1}B$ .

A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac12 \\[3pt] -1 & 1 & \frac12 \\[3pt] 0 & 0 & \frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & \frac32 \\[3pt] 2 & -2 & -\frac12 \\[3pt] 0 & 0 & -\frac12\end{pmatrix}

La matriz $X$ .

X = A^{-1}B+B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & \frac32 \\[3pt] 2 & -2 & -\frac12 \\[3pt] 0 & 0 & -\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & \frac52 \\[3pt] 3 & -3 & \frac12 \\[3pt] 0 & 0 & -\frac32\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A\,X-B = A\,B

\;\checkmark

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Consejo

Calcula los dos determinantes primero: uno se anula y eso responde a) y b) de golpe. La frase "si es posible" del enunciado avisa de que alguna inversa no existe.

En b) no calcules $B^{2013}$ : con $\det(MN) = \det M\det N$ el resultado es $0$ en una línea, porque $\det B = 0$ .

En c), $A^{-1}(B+AB) = A^{-1}B+B$ : el segundo sumando se simplifica solo. Te ahorras multiplicar $A^{-1}$ por el producto $AB$ .