Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{rcrcrcr} x & + & \lambda y & + & z & = & 4 \\ x & + & 3y & + & z & = & 5 \\ \lambda x & + & \phantom{3}y & + & z & = & 4\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro

\lambda

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo en el caso

\lambda = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)\;}

\boxed{\;\lambda\neq1,3: \text{ compatible determinado}\;}

\boxed{\;\lambda = 1: \ F_{1} = F_{3} \text{ (con el t. indep.)} \Rightarrow \text{S.C.I.}; \quad \lambda = 3: \text{ incompatible}\;}

\boxed{\;\lambda = 1: \ (x,y,z) = \left(t,\; \tfrac12,\; \tfrac72-t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale un polinomio de segundo grado que se factoriza fácilmente, con dos valores críticos.

Fíjate en las dos primeras ecuaciones: tienen los mismos coeficientes en

x

z

y solo se diferencian en el de

y

. Eso hace que en

\lambda = 3

sean contradictorias (mismos coeficientes, distinto término independiente) y en

\lambda = 1

aparezca otra coincidencia.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ \lambda & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\,(3-1)-\lambda\,(1-\lambda)+1\,(1-3\lambda)

= 2-\lambda+\lambda^{2}+1-3\lambda = \lambda^{2}-4\lambda+3

\det M = (\lambda-1)(\lambda-3) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 1 \quad \text{o} \quad \lambda = 3

a) Discusión.

Caso $\lambda\neq1$ y $\lambda\neq3$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 4\end{array}\right)

Las filas primera y tercera son idénticas, término independiente incluido: la tercera sobra. Y el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 2 \neq 0

da rango

2

en ambas matrices:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $\lambda = 3$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 4\end{array}\right)

Las filas primera y segunda tienen los mismos coeficientes pero términos independientes distintos (

4

5

x+3y+z = 4 \qquad \text{y} \qquad x+3y+z = 5

Contradicción. Formalmente,

\operatorname{rg}M = 2

(el menor

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1\end{vmatrix} = -8 \neq 0

) pero

\operatorname{rg}M^{*} = 3

, porque orlando ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & 4\end{vmatrix} = 1\,(12-5)-3\,(4-15)+4\,(1-9) = 7+33-32 = 8 \neq 0

\textbf{Sistema incompatible}

b) Resolución para $\lambda = 1$ . Descartando la tercera (repetida):

\begin{cases} x+y+z = 4 \\ x+3y+z = 5\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

2y = 1 \;\Longrightarrow\; y = \frac12

Sustituyendo en la primera:

x+z = 4-\frac12 = \frac72

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \left(t,\; \frac12,\; \frac72-t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t = 0

\left(0,\frac12,\frac72\right)

;

\;0+\frac12+\frac72 = 4

\checkmark

;

\;0+\frac32+\frac72 = 5

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Compara las ecuaciones entre sí antes de calcular rangos: aquí se ve a simple vista que con $\lambda=3$ las dos primeras se contradicen y con $\lambda=1$ la tercera repite la primera.

Los dos valores críticos dan resultados opuestos. La diferencia está en la columna de términos independientes: si acompaña a la proporcionalidad, es compatible; si no, incompatible.

En el caso indeterminado, descarta la ecuación repetida y resuelve con las dos que quedan. Y comprueba la solución en el sistema original.