Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las siguientes matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & -1\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Calcula

A^{-1}

.

b) [1,75 puntos] Resuelve la ecuación matricial

\;AXA^{t}-B = 2I

, donde

I

es la matriz identidad de orden

2

A^{t}

es la matriz traspuesta de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = A \quad (A^{2} = I)\;}

\boxed{\;AXA^{t} = 2I+B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = A^{-1}(2I+B)\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}, \quad \bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t} = A^{t}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = A\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Fórmula de la inversa $2\times2$ . Aquí sale una sorpresa útil: $A^{-1} = A$ , es decir, $A^{2} = I$ (matriz involutiva).
b) Con $X$ entre dos matrices, se despeja por los dos lados:

AXA^{t} = 2I+B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,(2I+B)\,\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}

Y como

\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t} = A^{t}

, todo se reduce a dos productos.

Desarrollo

a) La inversa.

\det A = (-1)(1)-(2)(0) = -1 \neq 0

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = A

¡La inversa es la propia matriz! Equivalentemente:

A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2+2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I \;\checkmark

b) La ecuación matricial.

AXA^{t} = 2I+B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

Despejamos. Multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda y por

\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}

por la derecha:

X = A^{-1}\,\bigl(2I+B\bigr)\,\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}

La inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa, y como

A^{-1} = A

\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t} = A^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

Primer producto.

A^{-1}\,(2I+B) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 & 0+2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

Segundo producto.

X = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5+4 & 0+2 \\ -2+2 & 0+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

X = A

Comprobación. Como

X = A

A^{2} = I

AXA^{t} = A\cdot A\cdot A^{t} = I\,A^{t} = A^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

AXA^{t}-B = \begin{pmatrix} -1+3 & 0 \\ 2-2 & 1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Detectar que $A^{-1} = A$ (o, lo que es lo mismo, $A^{2} = I$ ) simplifica todo el apartado b) y permite comprobar el resultado en dos líneas.

Recuerda la propiedad $\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t}$ : ahorra invertir la traspuesta desde cero.

Con $X$ en medio, cada inversa entra por su lado y el orden es intocable: $X = A^{-1}\,M\,\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}$ .