Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \lambda x+y-z = -1 \\ \lambda x \phantom{{}+y}+\lambda z = \phantom{-}\lambda \\ \phantom{\lambda}x+y-\lambda z = \phantom{-}0\end{cases}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de

\lambda

.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para

\lambda = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 0 \ \textbf{ para todo } \lambda \;\Longrightarrow\; \text{nunca hay solución única}\;}

\boxed{\;\operatorname{rg}M = 2 \text{ siempre}; \qquad \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix} = -\lambda^{2}\;}

\boxed{\;\text{a) } \lambda\neq0: \text{ Incompatible}; \qquad \lambda = 0: \text{ Compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b) } (x,y,z) = (1-t,\; t-1,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius, pero con una sorpresa: al calcular el determinante de la matriz de coeficientes sale idénticamente cero, para todo

\lambda

.

Eso significa que el sistema nunca es compatible determinado. Toda la discusión se juega entonces entre "incompatible" y "compatible indeterminado", y hay que comparar

\operatorname{rg}M

con

\operatorname{rg}M^{*}

orlando con la columna de términos independientes.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & -\lambda\end{pmatrix} \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & -1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & -\lambda & 0\end{array}\right)

El determinante. Desarrollando por la segunda fila:

\det M = \lambda\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -\lambda\end{vmatrix}\cdot(-1) + 0 + \lambda\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}\cdot(-1)

= -\lambda\bigl(-\lambda+1\bigr)-\lambda\bigl(\lambda-1\bigr) = \lambda^{2}-\lambda-\lambda^{2}+\lambda = 0

\det M = 0 \quad \textbf{para todo } \lambda

\Longrightarrow \operatorname{rg}M \leq 2 \text{ siempre}: \textbf{el sistema nunca tiene solución única}

El rango de $M$ es exactamente $2$ . Los menores

\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ \lambda & 0\end{vmatrix} = -\lambda \qquad \text{y} \qquad \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = \lambda-1

no se anulan a la vez (uno pide

\lambda=0

y el otro

\lambda=1

), así que siempre hay un menor de orden

2

no nulo:

\operatorname{rg}M = 2 \quad \text{para todo } \lambda

a) El rango de la ampliada. Orlamos el menor con la columna de términos independientes, tomando las columnas

1

2

y la de

b

\begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix} = \lambda(0-\lambda)-1(0-\lambda)+(-1)(\lambda-0) = -\lambda^{2}+\lambda-\lambda = -\lambda^{2}

Caso $\lambda \neq 0$ : ese menor vale

-\lambda^{2}\neq 0

, luego

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $\lambda = 0$ : el sistema queda

\begin{cases} \phantom{0x+{}}y-z = -1 \\ 0 = 0 \\ x+y\phantom{{}-0z} = \phantom{-}0\end{cases}

La segunda ecuación desaparece; quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado (1 parámetro)}

\textbf{Resumen: } \lambda = 0 \Rightarrow \text{S.C.I.}; \qquad \lambda \neq 0 \Rightarrow \text{S.I.}

b) Resolución para $\lambda = 0$ . De la primera ecuación,

y = z-1

; de la tercera,

x = -y = 1-z

. Tomando

z = t

(x,\,y,\,z) = (1-t,\; t-1,\; t), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación.

\;(t-1)-t = -1\;\checkmark

;

\;(1-t)+(t-1) = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el determinante salga idénticamente nulo no es un error de cálculo: es la gracia del ejercicio. Repítelo una vez para confirmarlo y sigue adelante, porque cambia toda la estructura de la discusión.

Con $\det M \equiv 0$ hay que decidir el rango exacto de $M$ . Aquí basta con exhibir dos menores de orden $2$ que no puedan anularse simultáneamente: eso prueba que $\operatorname{rg}M = 2$ sea cual sea $\lambda$ .

Para la ampliada, orla el menor de orden $2$ con la columna de términos independientes. Ese determinante, $-\lambda^{2}$ , es el que separa el caso incompatible del indeterminado.