Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{-}x-\phantom{2\lambda}y\phantom{{}+\lambda z} & = & \lambda \\ \phantom{-x-}2\lambda y+\lambda z & = & \lambda \\ -x-\phantom{2\lambda}y+\lambda z & = & 0\end{array}\right\}

a) [1,25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro

\lambda

.

b) [1,25 puntos] Resuélvelo para

\lambda = 0

\lambda = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 2\lambda^{2}+2\lambda = 2\lambda\,(\lambda+1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \lambda\neq0,-1: \text{ S.C.D.}; \quad \lambda = 0 \ \text{y} \ \lambda = -1: \text{ S.C.I. (nunca incompatible)}\;}

\boxed{\;\text{b) } \lambda = 0: \ (x,y,z) = (0,\, 0,\, t)\;}

\boxed{\;\lambda = -1: \ (x,y,z) = \left(\frac{-1-t}{2},\; \frac{1-t}{2},\; t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante se anula en dos valores y —a diferencia de lo habitual— los dos dan sistemas compatibles indeterminados: el sistema nunca es incompatible.

En b) hay que resolver precisamente esos dos casos, así que la respuesta lleva un parámetro en cada uno.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2\lambda & \lambda \\ -1 & -1 & \lambda\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \\ 0\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\begin{vmatrix} 2\lambda & \lambda \\ -1 & \lambda\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix} 0 & \lambda \\ -1 & \lambda\end{vmatrix}+0

= \bigl(2\lambda^{2}+\lambda\bigr)+\bigl(0+\lambda\bigr) = 2\lambda^{2}+2\lambda

\det M = 2\lambda\,(\lambda+1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda = -1

a) Clasificación.

Caso $\lambda\neq0$ y $\lambda\neq-1$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = 0$ : el sistema se vuelve homogéneo (

b = \vec0

) y queda

\begin{cases} \phantom{-}x-y = 0 \\ \phantom{-x-y}0 = 0 \\ -x-y = 0\end{cases}

Sumando la primera y la tercera,

-2y = 0 \Rightarrow y = 0

, y entonces

x = 0

. La incógnita

z

no aparece:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $\lambda = -1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0\end{array}\right)

Aquí

F_{3} = -F_{1}+F_{2}

incluido el término independiente (

1-1 = 0

\checkmark

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

\textbf{El sistema nunca es incompatible}

b) Las soluciones.

Caso $\lambda = 0$ . Como se ha visto,

x = y = 0

z

queda libre:

(x,\,y,\,z) = (0,\, 0,\, t), \qquad t\in\mathbb{R}

Caso $\lambda = -1$ . Con las dos primeras ecuaciones y

z = t

\begin{cases} x-\phantom{2}y = -1 \\ \phantom{x-}{-2}y-t = -1\end{cases}

De la segunda:

\;y = \dfrac{1-t}{2}

. Y de la primera:

x = y-1 = \frac{1-t}{2}-1 = \frac{-1-t}{2}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{-1-t}{2},\; \frac{1-t}{2},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t=1

(-1,\,0,\,1)

;

\;-1-0 = -1\;\checkmark

;

\;0-1 = -1\;\checkmark

;

\;1-0-1 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $\det M = 0$ no implica incompatible: aquí los dos valores críticos dan sistemas indeterminados. Hay que comprobar el rango de la ampliada en cada uno.

Con $\lambda = 0$ el sistema se vuelve homogéneo, así que es compatible seguro. Observarlo ahorra trabajo.

Para $\lambda = -1$ , detectar $F_{3} = -F_{1}+F_{2}$ incluido el término independiente resuelve el caso sin orlar menores y te dice qué ecuación descartar al resolver.