Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2023 · Reserva 3
Enunciado
Ejercicio 6 (bloque B). Dadas las matricesA=(110101011)yB=(001010100)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}se define la matriz M=A+(λ−1)BM = A + (\lambda - 1)B.

a) [1,5 puntos] Halla los valores de λ\lambda para los que la matriz MM tiene rango menor que 33.

b) [1 punto] Para λ=−1\lambda = -1, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es MM.
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Resultado
  a)∣M∣=−(λ−2)2(λ+1);rg⁡(M)<3⟺λ=2   o   λ=−1  \boxed{\;\text{a)}\quad |M| = -(\lambda - 2)^{2}(\lambda + 1); \qquad \operatorname{rg}(M) < 3 \Longleftrightarrow \lambda = 2 \;\text{ o }\; \lambda = -1\;}  b)(x,y,z)=t (1,1,1),t∈R  \boxed{\;\text{b)}\quad (x, y, z) = t\,(1, 1, 1), \quad t \in \mathbb{R}\;}
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Estrategia

Lo primero es construir MM: como BB tiene unos en la antidiagonal, sumarle (λ−1)B(\lambda-1)B solo modifica esas tres posiciones. La matriz que sale es simétrica respecto de la antidiagonal, lo que permite calcular el determinante con comodidad.

"Rango menor que 33" para una matriz 3×33\times 3 significa exactamente ∣M∣=0|M| = 0: así que a), pese al enunciado, es un problema de determinantes con parámetro.

En b), un sistema homogéneo siempre es compatible (la solución trivial existe siempre). Como para λ=−1\lambda = -1 el rango baja a 22, será indeterminado con un parámetro: una recta de soluciones que pasa por el origen.
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Desarrollo

Construcción de MM. Llamando k=λ−1k = \lambda - 1:(λ−1)B=(00k0k0k00)  ⟹  M=(11k1k1k11)(\lambda - 1)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ k & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix}a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:∣M∣=1 (k−1)−1 (1−k)+k (1−k2)=(k−1)+(k−1)+k(1−k)(1+k)|M| = 1\,(k - 1) - 1\,(1 - k) + k\,\bigl(1 - k^{2}\bigr) = (k-1) + (k-1) + k(1-k)(1+k)=2(k−1)−k(k−1)(1+k)=(k−1)[2−k(1+k)]=(k−1)(2−k−k2)= 2(k-1) - k(k-1)(1+k) = (k-1)\bigl[2 - k(1+k)\bigr] = (k-1)\bigl(2 - k - k^{2}\bigr)=−(k−1)(k2+k−2)=−(k−1)(k−1)(k+2)=−(k−1)2(k+2)= -(k-1)\bigl(k^{2} + k - 2\bigr) = -(k-1)(k-1)(k+2) = -(k-1)^{2}(k+2)Deshaciendo k=λ−1k = \lambda - 1:∣M∣=−(λ−2)2(λ+1)|M| = -\bigl(\lambda - 2\bigr)^{2}\bigl(\lambda + 1\bigr)∣M∣=0  ⟺  λ=2oλ=−1|M| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 2 \quad \text{o} \quad \lambda = -1Para esos dos valores el rango de MM es menor que 33 (y para cualquier otro λ\lambda, el rango es exactamente 33).

(De hecho, para λ=2\lambda = 2 es k=1k=1 y MM es la matriz de todo unos: rango 11. Para λ=−1\lambda = -1 el rango es 22, como se ve enseguida.)

b) Caso λ=−1\lambda = -1. Entonces k=−2k = -2 yM=(11−21−21−211)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}Rango. El menor ∣111−2∣=−3≠0\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right| = -3 \neq 0, así que rg⁡(M)=2\operatorname{rg}(M) = 2 (no puede ser 33 porque ∣M∣=0|M| = 0).

(Se ve además que F1+F2+F3=(0,0,0)F_{1} + F_{2} + F_{3} = (0,0,0): las tres filas suman cero, que es la dependencia lineal responsable de que baje el rango.)

El sistema. Por Rouché–Frobenius, un sistema homogéneo con rg⁡=2<3\operatorname{rg} = 2 < 3 incógnitas es compatible indeterminado con un parámetro. Tomamos las dos primeras ecuaciones (las que dan el menor no nulo):{x+y−2z=0x−2y+2z=0\begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ x - 2y + \phantom{2}z = 0 \end{cases}Restando la segunda de la primera:3y−3z=0  ⟹  y=z3y - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; y = zY sustituyendo en la primera:   x+z−2z=0⟹x=z\;x + z - 2z = 0 \Longrightarrow x = z.Solucioˊn: x=y=z=t,t∈R\text{Solución: } \quad x = y = z = t, \qquad t \in \mathbb{R}Es decir, todas las soluciones son los múltiplos de (1,1,1)(1,1,1): una recta que pasa por el origen.

Comprobación. Con (1,1,1)(1,1,1):   1+1−2=0\;1+1-2 = 0,   1−2+1=0\;1-2+1 = 0,   −2+1+1=0\;-2+1+1 = 0. Correcto.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Para una matriz cuadrada, "rango menor que el orden" y "determinante nulo" son la misma cosa. No te pongas a orlar menores: calcula ∣M∣|M|, factorízalo y listo. Los menores solo hacen falta después, para saber cuánto vale el rango en cada caso singular.

En b) no contestes "la solución es la trivial x=y=z=0x=y=z=0". Un sistema homogéneo la tiene siempre; la pregunta interesante es si hay más, y como el rango es 22 y hay 33 incógnitas, hay infinitas. Deja la respuesta en forma paramétrica.
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