Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{2}x-\phantom{3}y+z & = & 0 \\ 2x+3y-z & = & 3\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Determina el valor de

m

para el que al añadir la ecuación

\;x+m y+4z = -3\;

al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

b) [1 punto] Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea

6

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Solución general: } (x,y,z) = \left(\frac{3-2t}{5},\; \frac{3+3t}{5},\; t\right)\;}

\boxed{\;\text{a) } (3m+18)(t+1) = 0 \ \ \forall t \;\Longrightarrow\; m = -6\;}

\boxed{\;\text{b) } x+y+z = \frac{6+6t}{5} = 6 \;\Longrightarrow\; t = 4\;}

\boxed{\;(x,y,z) = (-1,\, 3,\, 4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema de partida tiene dos ecuaciones y tres incógnitas: es compatible indeterminado con un parámetro. Lo primero es resolverlo dejando

x

y

en función de

z

a) "Las mismas soluciones" significa que la ecuación nueva no aporta información: debe cumplirse para toda la familia de soluciones. Se sustituye la solución general y se impone que la identidad valga para todo valor del parámetro.
b) Se impone $x+y+z = 6$ sobre la solución general.

Desarrollo

Resolvemos el sistema. Tomando

z

como parámetro:

\begin{cases} x-y = -z \\ 2x+3y = 3+z\end{cases}

Multiplicando la primera por

3

y sumando la segunda:

3x-3y+2x+3y = -3z+3+z \;\Longrightarrow\; 5x = 3-2z \;\Longrightarrow\; x = \frac{3-2z}{5}

Y de la primera:

y = x+z = \frac{3-2z}{5}+z = \frac{3-2z+5z}{5} = \frac{3+3z}{5}

\textbf{Solución general: } (x,\,y,\,z) = \left(\frac{3-2t}{5},\; \frac{3+3t}{5},\; t\right)

(Comprobación con $t=0$ : $\left(\frac35,\frac35,0\right)$ ; $\;\frac35-\frac35 = 0\;\checkmark$ y $\;\frac65+\frac95 = 3\;\checkmark$ )

a) La ecuación añadida no debe restringir nada. Sustituyendo en

x+my+4z = -3

\frac{3-2t}{5}+m\cdot\frac{3+3t}{5}+4t = -3

Multiplicando por

5

3-2t+3m+3mt+20t = -15

t\,\bigl(3m+18\bigr)+\bigl(3m+18\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; (3m+18)\,(t+1) = 0

Esto debe cumplirse para todo $t$ , luego

3m+18 = 0 \;\Longrightarrow\; m = -6

Comprobación. Con

m=-6

la ecuación es

x-6y+4z = -3

, y

\frac{3-2t}{5}-6\cdot\frac{3+3t}{5}+4t = \frac{3-2t-18-18t+20t}{5} = \frac{-15}{5} = -3 \quad \checkmark \ \text{para todo } t

b) La suma igual a $6$ .

x+y+z = \frac{3-2t}{5}+\frac{3+3t}{5}+t = \frac{6+t+5t}{5} = \frac{6+6t}{5} = 6

6+6t = 30 \;\Longrightarrow\; t = 4

La solución.

x = \frac{3-8}{5} = -1, \qquad y = \frac{3+12}{5} = 3, \qquad z = 4

(x,\,y,\,z) = (-1,\, 3,\, 4)

Comprobación.

\;-1-3+4 = 0\;\checkmark

;

\;-2+9-4 = 3\;\checkmark

; y

\;-1+3+4 = 6\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Mismas soluciones" significa que la nueva ecuación es combinación lineal de las anteriores, o equivalentemente, que se cumple para toda la familia. Imponer que valga para todo $t$ es la traducción directa.

Resuelve el sistema primero: con la solución general en la mano, los dos apartados son una sustitución cada uno. Sin ella hay que pelearse con rangos y menores.

Comprueba la solución final en las tres ecuaciones (las dos originales y la añadida) y en la condición de la suma. Con fracciones de denominador $5$ es fácil equivocarse.