Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{(k+1)}x+k y+2z & = & k+1 \\ \phantom{(k+1)}x+2y+k z & = & 3 \\ (k+1)x+\phantom{2}y+\phantom{2}z & = & k+2\end{array}\right\}

a) [1,25 puntos] Determina los valores de

k

para los que el sistema tiene más de una solución.

b) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de

k

para el cual el sistema no tiene solución?

c) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para

k = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = k^{3}+k^{2}-6k = k\,(k-2)(k+3)\;}

\boxed{\;\text{a) Más de una solución} \iff k = 0,\ k = 2 \ \text{o} \ k = -3 \ (\text{S.C.I. en los tres})\;}

\boxed{\;\text{b) } \textbf{No existe} \text{ ningún } k \text{ con el sistema incompatible}\;}

\boxed{\;\text{c) } k=0: \ (x,y,z) = (1-2t,\; 1+t,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El determinante se anula en tres valores, y hay que estudiarlos uno a uno. La sorpresa del ejercicio es que los tres dan sistemas compatibles indeterminados: el sistema nunca es incompatible, lo que responde a) y b) de golpe.

a) "Más de una solución" $=$ infinitas: $\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} < 3$ .
b) Se responde comprobando que en los tres casos críticos los rangos coinciden.
c) $k=0$ es uno de esos casos, así que la solución lleva un parámetro.

Desarrollo

La matriz de coeficientes.

M = \begin{pmatrix} 1 & k & 2 \\ 1 & 2 & k \\ k+1 & 1 & 1\end{pmatrix}

El determinante.

\det M = 1\,(2-k)-k\,\bigl(1-k(k+1)\bigr)+2\,\bigl(1-2(k+1)\bigr)

= (2-k)-k+k^{2}(k+1)+2\,(-1-2k) = 2-k-k+k^{3}+k^{2}-2-4k

\det M = k^{3}+k^{2}-6k = k\,\bigl(k^{2}+k-6\bigr) = k\,(k-2)(k+3)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = 0, \quad k = 2 \quad \text{o} \quad k = -3

a) Los casos críticos. En cada uno se comprueba que

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2

:

$k = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)

F_{3} = \frac{F_{1}+F_{2}}{2}

, también en el término independiente (

\frac{1+3}{2} = 2

\checkmark

).

$k = 2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & 4\end{array}\right)

Las dos primeras filas son idénticas.

$k = -3$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -3 & 3 \\ -2 & 1 & 1 & -1\end{array}\right)

F_{3} = -(F_{1}+F_{2})

, también en el término independiente (

-(-2+3) = -1

\checkmark

).

En los tres casos

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3

\textbf{Más de una solución} \iff k = 0, \ k = 2 \ \text{ o } \ k = -3

b) ¿Puede no tener solución? Para

k\neq0,2,-3

el sistema es compatible determinado, y en los tres casos críticos es compatible indeterminado.

\textbf{No: el sistema es compatible para todo } k

c) Resolución para $k = 0$ . El sistema es

\begin{cases} x\phantom{{}+2y}+2z = 1 \\ x+2y\phantom{{}+2z} = 3 \\ x+\phantom{2}y+\phantom{2}z = 2\end{cases}

Con las dos primeras (la tercera es su semisuma) y

z = t

x = 1-2t \qquad y = \frac{3-x}{2} = \frac{3-1+2t}{2} = 1+t

(x,\,y,\,z) = \bigl(1-2t,\; 1+t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t=1

(-1,2,1)

;

\;-1+2 = 1\;\checkmark

;

\;-1+4 = 3\;\checkmark

;

\;-1+2+1 = 2\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Más de una solución" significa infinitas: un sistema lineal tiene $0$ , $1$ o infinitas. Y en este caso hay que comprobar los tres valores críticos, no solo uno.

Que los tres den compatible indeterminado es lo que hace que la respuesta de b) sea "no existe". Es una respuesta perfectamente válida, pero hay que justificarla revisando los tres casos.

En cada caso crítico, buscar una relación entre filas que incluya el término independiente es más rápido que orlar menores, y de paso te dice qué ecuación descartar al resolver.