Matrices

a) El determinante. Desarrollamos por la primera fila (el $0$ del final ayuda):$$|A| = \alpha\left|\begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ \alpha+4 & \alpha \end{array}\right| - (\alpha+4)\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & \alpha \end{array}\right| + 0$$$$|A| = \alpha\bigl(\alpha^{2} - (\alpha+4)\bigr) - (\alpha+4)\,\alpha = \alpha\bigl(\alpha^{2} - \alpha - 4 - \alpha - 4\bigr) = \alpha\bigl(\alpha^{2} - 2\alpha - 8\bigr)$$Factorizamos la cuadrática ($\alpha = \frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2} = \frac{2\pm 6}{2}$, es decir $4$ y $-2$):$$|A| = \alpha\,(\alpha - 4)\,(\alpha + 2)$$La matriz admite inversa cuando $|A| \neq 0$, o sea$$\alpha \neq 0, \qquad \alpha \neq 4, \qquad \alpha \neq -2$$Dicho de otro modo: para todo $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\,0,\,4\}$ existe $A^{-1}$; para $\alpha = -2$, $\alpha = 0$ o $\alpha = 4$ la matriz es singular y no tiene inversa.

b) Inversa para $\alpha = 1$. Como $1 \notin \{-2, 0, 4\}$, la inversa existe. La matriz y su determinante son$$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 1\cdot(1-4)\cdot(1+2) = -9$$Adjuntos (cada uno con su signo $(-1)^{i+j}$):$$A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 5 & 1\end{array}\right| = -4 \qquad A_{12} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = -1 \qquad A_{13} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 5\end{array}\right| = 5$$$$A_{21} = -\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right| = -5 \qquad A_{22} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \qquad A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 0 & 5\end{array}\right| = -5$$$$A_{31} = \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right| = 5 \qquad A_{32} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right| = -1 \qquad A_{33} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 1 & 1\end{array}\right| = -4$$La matriz adjunta y su traspuesta:$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 5 \\ -5 & 1 & -5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Adj}(A)\bigr)^{t} = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -5 & -4 \end{pmatrix}$$Dividiendo entre $|A| = -9$ (lo que cambia todos los signos y divide entre $9$):$$A^{-1} = \frac{1}{-9}\begin{pmatrix} -4 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -5 & -4 \end{pmatrix} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 & 5 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \\ -5 & 5 & 4 \end{pmatrix}$$Comprobación. Multiplicando la primera fila de $A$ por las columnas de $9A^{-1}$:$$(1,5,0)\cdot(4,1,-5) = 9, \qquad (1,5,0)\cdot(5,-1,5) = 0, \qquad (1,5,0)\cdot(-5,1,4) = 0$$que dividido entre $9$ da $(1,0,0)$, la primera fila de la identidad. Con las otras dos filas ocurre lo mismo, luego $A\,A^{-1} = I$.