Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2025 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque con optatividad 2). Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz

X

que verifica

X^{3}AX^{2} = B^{2}

.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^{3}YB^{-1} = A^{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |X|^{5} = \frac{|B|^{2}}{|A|} = 8 \;\Longrightarrow\; |X| = \sqrt[5]{8} \approx 1{,}52\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad Y = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no se pide

X

, sino su determinante. Y eso se consigue sin resolver nada: tomando determinantes en los dos miembros y usando que

|MN| = |M||N|

, la ecuación matricial se convierte en una ecuación numérica con la incógnita

|X|

.

En b) sí hay que despejar una matriz. La regla de oro es que el producto de matrices no es conmutativo: hay que multiplicar por las inversas por el lado correcto, la izquierda por la izquierda y la derecha por la derecha. Y antes, comprobar que las inversas existen.

Desarrollo

Determinantes de partida.

|A| = 2\cdot 4 - 2\cdot 3 = 8 - 6 = 2 \qquad\qquad |B| = 3\cdot 2 - 1\cdot 2 = 6 - 2 = 4

Los dos son no nulos, así que

A

B

son invertibles.

a) Determinante de $X$ . Tomando determinantes en

X^{3}AX^{2} = B^{2}

y usando que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:

\bigl|X^{3}\bigr|\cdot|A|\cdot\bigl|X^{2}\bigr| = \bigl|B^{2}\bigr| \;\Longrightarrow\; |X|^{3}\cdot|A|\cdot|X|^{2} = |B|^{2}

|X|^{5}\cdot 2 = 4^{2} = 16 \;\Longrightarrow\; |X|^{5} = 8 \;\Longrightarrow\; |X| = \sqrt[5]{8} = 2^{3/5} \approx 1{,}52

(La raíz quinta de un número real es única, así que el determinante queda determinado aunque la matriz $X$ no lo esté.)

b) La matriz $Y$ . Partimos de

A^{3}\,Y\,B^{-1} = A^{2}

Como

|A| = 2 \neq 0

, existe

A^{-1}

y también

\bigl(A^{3}\bigr)^{-1} = A^{-3}

. Multiplicamos por la izquierda por

A^{-3}

y por la derecha por

B

Y = A^{-3}A^{2}B = A^{-1}B

Calculamos

A^{-1}

con la fórmula de la inversa de una matriz

2\times 2

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 1\end{pmatrix}

Y = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-2 & 2-2 \\ -\frac{9}{2}+2 & -\frac{3}{2}+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Comprobación. Basta ver que

AY = B

, porque

Y = A^{-1}B

AY = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & 0+1 \\ 12-10 & 0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2\end{pmatrix} = B

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no intentes despejar $X$ : no se puede (el producto no es conmutativo y $X$ aparece a los dos lados de $A$ ). Toma determinantes desde el principio y la ecuación matricial se vuelve numérica. Fíjate además en que $|X|^{3}|X|^{2} = |X|^{5}$ sí se puede juntar, porque los determinantes son números.

En b), $A^{3}YB^{-1} = A^{2}$ se despeja multiplicando por $A^{-3}$ por la izquierda y por $B$ por la derecha. Si lo haces al revés obtienes otra matriz distinta, y la simplificación $A^{-3}A^{2} = A^{-1}$ es la que deja el resultado limpio.