Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \phantom{4}x \phantom{{}+ my} - \phantom{m}z = m \\ \phantom{4x + {}} my + 3z = 1 \\ 4x + \phantom{m}y - mz = 5\end{cases}

a) [1,5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro

m

.

b) [1 punto] Para

m = 1

resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea

x = z

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -(m-1)(m-3)\;}

\boxed{\;m \neq 1,\, 3: \text{ determinado} \quad\big|\quad m = 1: \text{ indeterminado} \quad\big|\quad m = 3: \text{ incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (1+t,\; 1-3t,\; t); \qquad x = z \Rightarrow 1 = 0: \text{ no existe}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión estándar por Rouché–Frobenius: determinante, valores críticos y comparación de rangos en cada uno.

El apartado b) tiene una segunda parte que no es un cálculo, sino una comprobación: hay que ver si la condición extra

x = z

es compatible con la solución general. Aquí no lo será, y decirlo con su justificación es la respuesta.

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & \phantom{-}3 \\ 4 & 1 & -m\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & m \\ 0 & m & \phantom{-}3 & 1 \\ 4 & 1 & -m & 5\end{array}\right)

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\,\bigl(-m^{2} - 3\bigr) - 0 + (-1)\,\bigl(0 - 4m\bigr) = -m^{2} - 3 + 4m

= -\bigl(m^{2} - 4m + 3\bigr) = -(m-1)(m-3)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = 3

Caso $m \neq 1$ y $m \neq 3$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = 1$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & \phantom{-}3 & 1 \\ 4 & 1 & -1 & 5\end{array}\right)

Se comprueba que

F_{3} = 4F_{1} + F_{2}

, también en el término independiente (

4\cdot 1 + 1 = 5\;\checkmark

): la tercera ecuación es redundante. Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

Caso $m = 3$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & \phantom{-}3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 & 5\end{array}\right)

Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right| = 3 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

. Orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 5\end{array}\right| = 1\,(15 - 1) - 0 + 3\,(0 - 12) = 14 - 36 = -22 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

b) Resolución con $m = 1$ . Quedan dos ecuaciones independientes:

\begin{cases} x - \phantom{3}z = 1 \\ y + 3z = 1\end{cases}

Tomando

z = t

x = 1 + t, \qquad y = 1 - 3t

(x, y, z) = \bigl(1 + t,\; 1 - 3t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

¿Existe una solución con $x = z$ ? Sustituyendo:

1 + t = t \;\Longrightarrow\; 1 = 0 \qquad \text{(absurdo)}

\textbf{No existe ninguna solución con } x = z

Razón de fondo: la primera ecuación es

x - z = 1

, así que la diferencia

x - z

vale

1

en todas las soluciones y nunca puede ser

0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos valores críticos se comportan de forma opuesta: uno indeterminado y otro incompatible. La diferencia está en si la relación entre filas se mantiene en los términos independientes; con $m=1$ sí ( $F_{3} = 4F_{1}+F_{2}$ también a la derecha) y con $m=3$ no.

Para la última pregunta, no busques la solución "a ojo": la primera ecuación ya dice que $x - z = 1$ siempre, así que $x = z$ es imposible. Ese argumento vale más que cualquier cálculo.

Cuando una condición extra resulta imposible, la respuesta correcta es "no existe" con su justificación, no "el sistema es incompatible": el sistema sí tiene infinitas soluciones, lo que no tiene solución es el sistema ampliado con la condición.