Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda+1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

.

a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los valores de

\lambda

para los que

A^{-1} = 2I - A

(siendo

I

la matriz identidad de orden

3

).

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de

\lambda

para los que la matriz

A + A^{T}

no tiene inversa (

A^{T}

es la matriz traspuesta de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 1 \neq 0 \text{ siempre}; \qquad A^{-1} = 2I-A \iff 2A - A^{2} = I\;}

\boxed{\;\text{a) } 2A-A^{2}-I \text{ solo falla en } (2,3): \ -\lambda^{2}-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0 \text{ o } \lambda = -1\;}

\boxed{\;\text{b) } \det(A+A^{T}) = -6\lambda^{2}-6\lambda+4 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{-3\pm\sqrt{33}}{6}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) No hace falta calcular $A^{-1}$ . Basta con usar la definición de inversa: la condición $A^{-1} = 2I-A$ equivale a

A\,(2I-A) = I \;\Longleftrightarrow\; 2A - A^{2} = I

Solo hay que calcular

A^{2}

e igualar entrada a entrada. (Antes conviene comprobar que

A

es invertible, y aquí lo es siempre:

\det A = 1

b) "No tiene inversa" $\iff$ determinante nulo. Se construye $A+A^{T}$ (que es simétrica, siempre) y se resuelve $\det = 0$ .

Desarrollo

El determinante de $A$ . Desarrollando por la tercera fila:

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1\end{vmatrix} = 1 \neq 0

A \text{ es invertible para todo } \lambda

a) Cálculo de $A^{2}$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda+1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda+1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\lambda+2 \\ 2\lambda & 1 & \lambda^{2}+\lambda-2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

(Entrada $(2,3)$ : $\;\lambda(\lambda+1) + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 = \lambda^{2}+\lambda-2$ .)

Imponiendo $2A - A^{2} = I$ .

2A - A^{2} = \begin{pmatrix} 2-1 & 0 & 2(\lambda+1)-(2\lambda+2) \\ 2\lambda-2\lambda & 2-1 & -2-(\lambda^{2}+\lambda-2) \\ 0 & 0 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda^{2}-\lambda \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Todas las entradas coinciden ya con las de

I

salvo la $(2,3)$ :

-\lambda^{2}-\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda\,(\lambda+1) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda = -1

Comprobación con $\lambda = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad 2I-A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

y su producto es

I

\;\checkmark

b) La matriz $A + A^{T}$ .

A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \lambda+1 & -1 & 1\end{pmatrix} \qquad A+A^{T} = \begin{pmatrix} 2 & \lambda & \lambda+1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ \lambda+1 & -1 & 2\end{pmatrix}

Su determinante (desarrollando por la primera fila):

\det = 2\bigl(4-1\bigr) - \lambda\bigl(2\lambda + \lambda+1\bigr) + (\lambda+1)\bigl(-\lambda - 2(\lambda+1)\bigr)

= 6 - \lambda\,(3\lambda+1) + (\lambda+1)(-3\lambda-2)

= 6 - 3\lambda^{2} - \lambda - 3\lambda^{2} - 5\lambda - 2 = -6\lambda^{2} - 6\lambda + 4

No tiene inversa $\iff \det = 0$ :

-6\lambda^{2}-6\lambda+4 = 0 \;\Longrightarrow\; 3\lambda^{2}+3\lambda-2 = 0

\lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{9+24}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{6}

\lambda \approx 0{,}457 \qquad \text{o} \qquad \lambda \approx -1{,}457

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No calcules $A^{-1}$ . Multiplicar los dos miembros por $A$ convierte la condición en $2A - A^{2} = I$ , que solo exige un producto de matrices. Es la forma rápida y la que evita errores de adjuntos.

Antes de hablar de la inversa, comprueba que existe: aquí $\det A = 1$ para todo $\lambda$ , así que no hay que descartar ningún valor por ese motivo.

$A+A^{T}$ es siempre simétrica: úsalo como comprobación al escribirla. Si tu matriz no sale simétrica, has traspuesto mal.